Calculer une probabilité avec la loi binomiale
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Soit $ X $ une variable aléatoire suivant une loi binomiale $ \mathscr B(n ; p) $. Pour tout entier $ k $ compris entre $ 0 $ et $ n $ :
où $ \binom{n}{k} $ est le coefficient binomial « $ k $ parmi $ n $ ».
Méthode
Pour calculer $ p(X = k) $ :
- Étape 1 : Identifier les paramètres : $ n $ (nombre d'épreuves), $ p $ (probabilité de succès) et $ k $ (nombre de succès souhaité).
- Étape 2 : Calculer le coefficient binomial $ \binom{n}{k} $ (à la calculatrice : touche nCr).
- Étape 3 : Calculer $ p^k $ et $ (1-p)^{n-k} $.
- Étape 4 : Multiplier les trois résultats pour obtenir $ p(X = k) $.
QCM à 20 questions
Un QCM comporte 20 questions, chacune avec 4 réponses possibles dont une seule est correcte. Un élève répond au hasard. On note $ X $ le nombre de bonnes réponses. Calculer la probabilité d'obtenir exactement 5 bonnes réponses.
Étape 1 : Chaque question est une épreuve de Bernoulli (bonne réponse = succès). Les réponses sont indépendantes.
$ n = 20 $, $ p = \dfrac{1}{4} = 0{,}25 $, $ k = 5 $.
$ X \sim \mathscr B(20 ; 0{,}25) $.
Étape 2 : On calcule le coefficient binomial :
$ \binom{20}{5} = 15\,504 $ (à la calculatrice).
Étape 3 : On calcule les puissances :
$ p^k = (0{,}25)^5 = \dfrac{1}{1\,024} $
$ (1-p)^{n-k} = (0{,}75)^{15} \approx 0{,}01336 $
Étape 4 : On multiplie :
$ p(X = 5) = 15\,504 \times \dfrac{1}{1\,024} \times 0{,}01336 $
La probabilité d'obtenir exactement 5 bonnes réponses est d'environ $\mathbf{0{,}202}$, soit environ 20 %.
Lancer de pièce équilibrée
On lance 8 fois une pièce équilibrée. On note $ X $ le nombre de fois où l'on obtient Pile. Calculer $ p(X = 3) $.
Étape 1 : $ n = 8 $, $ p = \dfrac{1}{2} $, $ k = 3 $.
$ X \sim \mathscr B\left(8 ; \dfrac{1}{2}\right) $.
Étape 2 : On calcule le coefficient binomial :
$ \binom{8}{3} = \dfrac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \dfrac{336}{6} = 56 $
Étape 3 : On calcule les puissances :
$ p^k = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8} $
$ (1-p)^{n-k} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^5 = \dfrac{1}{32} $
Étape 4 : On multiplie :
$ p(X = 3) = 56 \times \dfrac{1}{8} \times \dfrac{1}{32} = \dfrac{56}{256} $
Remarque
Sur la calculatrice, la fonction binomFdp (ou binompdf) donne directement $ p(X = k) $ pour une loi $ \mathscr B(n ; p) $, sans avoir à calculer séparément le coefficient binomial et les puissances.
Attention
- Ne pas confondre $ p $ (probabilité de succès) et $ 1-p $ (probabilité d'échec) dans la formule : l'exposant de $ p $ est $ k $ et celui de $ (1-p) $ est $ n - k $.
- Le coefficient binomial $ \binom{n}{k} $ est un entier (nombre de chemins). Si le résultat n'est pas entier, c'est qu'il y a une erreur de calcul.