Probabilités – Bac S Pondichéry 2011
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Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur la figure ci-dessous.
On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups.
- Le joueur lance une fléchette.
On note $ p_{0} $ la probabilité d'obtenir 0 point.
On note $ p_{3} $ la probabilité d'obtenir 3 points.
On note $ p_{5} $ la probabilité d'obtenir 5 points.
On a donc $ p_{0}+p_{3}+p_{5}=1 $.
Sachant que $ p_{5}=\dfrac{1}{2}p_{3} $ et que $ p_{5}=\dfrac{1}{3}p_{0} $ déterminer les valeurs de $ p_{0} $, $ p_{3} $ et $ p_{5} $· Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum. Le joueur gagne la partie s'il obtient un total (pour les 3 lancers) supérieur ou égal à 8 points. Si au bout de 2 lancers, il a un total supérieur ou égal à 8 points, il ne lance pas la troisième fléchette.
On note $ G_{2} $ l'évènement : « le joueur gagne la partie en 2 lancers ».
On note $ G_{3} $ l'évènement : « le joueur gagne la partie en 3 lancers ».
On note $ P $ l'évènement : « le joueur perd la partie ».
On note $ p\left(A\right) $ la probabilité d'un évènement $ A $.
- Montrer, en utilisant un arbre pondéré, que $ p\left(G_{2}\right)=\dfrac{5}{36} $.
On admettra dans la suite que $ p\left(G_{3}\right)=\dfrac{7}{36} $ - En déduire $ p \left(P\right) $.
- Montrer, en utilisant un arbre pondéré, que $ p\left(G_{2}\right)=\dfrac{5}{36} $.
- Un joueur joue six parties avec les règles données à la question 2. Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins une partie ?
Pour une partie, la mise est fixée à 2 €.
Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit 5 €. S'il gagne en trois lancers, il reçoit 3 €. S'il perd, il ne reçoit rien.
On note $ X $ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie. Les valeurs possibles pour $ X $ sont donc : $ - 2, 1 $ et $ 3 $.
- Donner la loi de probabilité de $ X $.
- Déterminer l'espérance mathématique de $ X $. Le jeu est-il favorable au joueur ?
Corrigé
- $ p_{0}+p_{3}+p_{5}=3p_{5}+2p_{5}+p_{5}=6p_{5}=1 $
Par conséquent :
$ p_{5}=\dfrac{1}{6} $, $ p_{3}=2p_{5}=\dfrac{1}{3} $, $ p_{0}=3p_{5}=\dfrac{1}{2} $. 
D'après l'arbre ci-dessus :
$ p\left(G_{2}\right)=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}\times \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}\times \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{36}=\dfrac{5}{36} $.
- Les évènements $ P $, $ G_{2} $ et $ G_{3} $ sont incompatibles et forment une partition de l'univers. Donc $ p\left(P\right)+p\left(G_{2}\right)+p\left(G_{3}\right)=1 $.
Ce qui donne :
$ p\left(P\right)=1 - p\left(G_{2}\right) - p\left(G_{3}\right)=1 - \dfrac{5}{36} - \dfrac{7}{36}=\dfrac{24}{36}=\dfrac{2}{3} $.
- Si l'on suppose les lancers indépendants, le nombre de gains suit une loi binomiale de paramètres $ p=\dfrac{1}{3} $ et $ n=6 $.
La probabilité que le joueur perde toutes les parties est $ \left(\dfrac{2}{3}\right)^{6} $. La probabilité que le joueur gagne au moins une partie est $ 1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^{6}=\dfrac{665}{729} $. - D'après les questions précédentes :
$ p\left(X= - 2\right)=\dfrac{2}{3} $
$ p\left(X=1\right)=p\left(G_{3}\right)=\dfrac{7}{36} $
$ p\left(X=3\right)=p\left(G_{2}\right)=\dfrac{5}{36} $ - L'espérance mathématique de $ X $ est :
$ E(X)= - 2\times \dfrac{2}{3}+1\times \dfrac{7}{36}+3\times \dfrac{5}{36}= - \dfrac{48}{36}+\dfrac{7}{36}+\dfrac{15}{36}= - \dfrac{26}{36}= - \dfrac{13}{18} $
L'espérance mathématique est négative, donc le jeu n'est pas favorable au joueur.
- D'après les questions précédentes :