Reconnaître un schéma de Bernoulli
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Pour reconnaître un schéma de Bernoulli et identifier les paramètres de la loi binomiale associée :
- Étape 1 : Vérifier que chaque épreuve ne comporte que deux issues : succès (probabilité $ p $) et échec (probabilité $ 1 - p $).
- Étape 2 : Vérifier que les épreuves sont identiques (la probabilité $ p $ ne change pas d'une épreuve à l'autre).
- Étape 3 : Vérifier que les épreuves sont indépendantes (le résultat d'une épreuve n'influence pas les suivantes).
- Étape 4 : Si les trois conditions sont remplies, identifier $ n $ (nombre de répétitions) et $ p $ (probabilité de succès). La variable aléatoire $ X $ comptant le nombre de succès suit alors $ \mathscr B(n ; p) $.
Lancers de dé
On lance 10 fois un dé équilibré. On appelle succès l'obtention d'un 6. On note $ X $ le nombre de 6 obtenus.
Étape 1 : Chaque lancer a deux issues : obtenir un 6 (succès, probabilité $ \dfrac{1}{6} $) ou ne pas obtenir un 6 (échec, probabilité $ \dfrac{5}{6} $).
Étape 2 : Les lancers sont identiques : la probabilité d'obtenir un 6 est $ \dfrac{1}{6} $ à chaque lancer.
Étape 3 : Les lancers sont indépendants : le résultat d'un lancer n'a aucune influence sur les suivants.
Étape 4 : Les trois conditions sont vérifiées. C'est un schéma de Bernoulli avec $ n = 10 $ épreuves et une probabilité de succès $ p = \dfrac{1}{6} $.
Tirage avec ou sans remise
Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules bleues. On tire successivement 5 boules. On appelle succès l'obtention d'une boule rouge.
Cas 1 : tirage avec remise
Étape 1 : Deux issues : rouge (succès, $ p = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5} $) ou bleue (échec).
Étape 2 : La composition de l'urne est identique à chaque tirage (remise).
Étape 3 : Les tirages sont indépendants grâce à la remise.
Étape 4 : C'est un schéma de Bernoulli. $ X \sim \mathscr B\left(5 ; \dfrac{2}{5}\right) $.
Cas 2 : tirage sans remise
Étape 1 : Deux issues : rouge ou bleue.
Étape 2 : La composition de l'urne change après chaque tirage : les épreuves ne sont pas identiques.
Étape 3 : Les tirages ne sont pas indépendants : retirer une boule modifie les probabilités suivantes.
Ce n'est pas un schéma de Bernoulli. On ne peut pas utiliser la loi binomiale.
Remarque
En pratique, la condition d'indépendance est souvent la plus délicate à vérifier. Elle est assurée lorsque les épreuves se font avec remise ou lorsque l'issue de chaque épreuve ne modifie pas les conditions des suivantes.
Attention
- Un tirage sans remise ne correspond pas à un schéma de Bernoulli (sauf si l'on considère une population très grande par rapport à la taille de l'échantillon).
- Ne pas confondre « deux issues possibles » et « schéma de Bernoulli » : les deux autres conditions (identique et indépendant) sont indispensables.