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Schéma de Bernoulli - Loi binomiale Exercices

Loi binomiale : application directe (controle qualite)

Durée estimée
10 minutes
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Objectifs travaillés

Dans une usine, une machine fabrique des composants électroniques. On estime que chaque composant produit a une probabilité de $ 0{,}05 $ d'être défectueux, indépendamment des autres.

À la sortie de la chaîne, on prélève un lot de $ 20 $ composants. On note $ X $ la variable aléatoire qui compte le nombre de composants défectueux dans ce lot. On admet que $ X $ suit une loi binomiale.

  1. Préciser les paramètres $ n $ et $ p $ de la loi suivie par $ X $.

  2. Calculer chacune des probabilités suivantes. Arrondir les résultats au dix-millième.

    1. La probabilité que le lot ne contienne aucun composant défectueux, $ p(X = 0) $.
    2. La probabilité que le lot contienne exactement un composant défectueux, $ p(X = 1) $.
    3. La probabilité que le lot contienne exactement deux composants défectueux, $ p(X = 2) $.
  3. Calculer l'espérance $ E(X) $ et interpréter ce résultat dans le contexte.
  4. Calculer l'écart-type $ \sigma(X) $. Arrondir au centième.

Corrigé

  1. Prélever un composant est une épreuve à deux issues : « défectueux » (succès) de probabilité $ 0{,}05 $, ou « conforme » (échec). On répète cette épreuve $ 20 $ fois de manière identique et indépendante, donc $ X $ suit la loi binomiale de paramètres :

    $ n = 20 $ et $ p = 0{,}05 $.

    On note $ X \sim \mathscr B(20 ; 0{,}05) $.

    1. Avec $ p(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} $ et $ k = 0 $ :
      $ p(X = 0) = \binom{20}{0} (0{,}05)^0 (0{,}95)^{20} = (0{,}95)^{20} $
      $ p(X = 0) \approx 0{,}3585 $
      La probabilité que le lot ne contienne aucun défaut est environ $\mathbf{0{,}3585}$.
    2. Pour $ k = 1 $ :
      $ p(X = 1) = \binom{20}{1} (0{,}05)^1 (0{,}95)^{19} = 20 \times 0{,}05 \times (0{,}95)^{19} $
      $ p(X = 1) \approx 0{,}3774 $
      La probabilité d'obtenir exactement un défaut est environ $\mathbf{0{,}3774}$.
    3. Pour $ k = 2 $, le coefficient binomial vaut $ \binom{20}{2} = 190 $ :
      $ p(X = 2) = 190 \times (0{,}05)^2 \times (0{,}95)^{18} = 190 \times 0{,}0025 \times (0{,}95)^{18} $
      $ p(X = 2) \approx 0{,}1887 $
      La probabilité d'obtenir exactement deux défauts est environ $\mathbf{0{,}1887}$.

  3. Pour une loi binomiale, l'espérance est $ E(X) = np $ :

    $ E(X) = 20 \times 0{,}05 = 1 $

    En moyenne, sur un grand nombre de lots de $ 20 $ composants, on observe $\mathbf{1}$ composant défectueux par lot.

  4. La variance est $ V(X) = np(1-p) $ :
    $ V(X) = 20 \times 0{,}05 \times 0{,}95 = 1 \times 0{,}95 = 0{,}95 $
    On en déduit l'écart-type :

    $ \sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{0{,}95} \approx 0{,}97 $

    L'écart-type vaut environ $\mathbf{0{,}97}$, ce qui mesure la dispersion du nombre de défauts autour de la moyenne.