Calculer une probabilité conditionnelle
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteMéthode
Pour calculer la probabilité de $ B $ sachant $ A $, notée $ p_A(B) $ :
- Étape 1 : repérer dans l'énoncé les deux événements et identifier celui qui suit le mot « sachant que » : c'est l'événement conditionnant $ A $. Vérifier que $ p(A)\neq 0 $.
Étape 2 : choisir la stratégie en fonction des données.
- Données d'événements : appliquer la formule $ p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)} $.
- Tableau d'effectifs : se restreindre à la ligne (ou la colonne) de $ A $ et calculer la proportion d'issues qui réalisent aussi $ B $.
- Arbre pondéré : la probabilité $ p_A(B) $ se lit directement sur la branche partant de $ A $ vers $ B $.
- Étape 3 : effectuer le calcul, simplifier la fraction et donner une valeur décimale arrondie si l'énoncé le demande.
Remarque
Ne pas confondre $ p(A\cap B) $ et $ p_A(B) $ :
- $ p(A\cap B) $ est la probabilité que $ A $ et $ B $ se réalisent, sans information préalable.
- $ p_A(B) $ est la probabilité que $ B $ se réalise sachant que $ A $ est déjà réalisé.
Application directe de la formule
Soient deux événements $ A $ et $ B $ tels que $ p(A)=0{,}45 $ et $ p(A\cap B)=0{,}18 $. Calculer $ p_A(B) $.
Étape 1 : $ p(A)=0{,}45\neq 0 $, la formule s'applique.
Étape 2 : application directe :
Étape 3 : simplification du quotient :
Sachant que $ A $ est réalisé, il y a $ 40\,\% $ de chances que $ B $ le soit aussi.
Lecture sur un tableau d'effectifs
Une enquête est menée auprès de $ 250 $ étudiants d'une université. Le tableau ci-dessous croise le sexe et l'inscription à une activité sportive du campus.
| Sport | Pas de sport | Total | |
| Hommes | $48$ | $72$ | $120$ |
| Femmes | $52$ | $78$ | $130$ |
| Total | $100$ | $150$ | $250$ |
On choisit un étudiant au hasard. On note $ F $ : « l'étudiant est une femme » et $ S $ : « l'étudiant pratique un sport ». Calculer $ p_F(S) $.
Étape 1 : $ p(F)=\dfrac{130}{250}=0{,}52\neq 0 $.
Étape 2 : sachant que la personne est une femme, on se restreint à la ligne « Femmes ». Parmi les $ 130 $ femmes, $ 52 $ pratiquent un sport :
Étape 3 : simplification :
Lecture sur un arbre pondéré
Dans une usine, $ 60\,\% $ des pièces sont produites par la machine $ M_1 $ et le reste par la machine $ M_2 $. La probabilité qu'une pièce produite par $ M_1 $ soit défectueuse est $ 0{,}03 $. On modélise la situation par l'arbre suivant.
Lire $ p_{M_1}(D) $ sur l'arbre.
Étape 1 : $ M_1 $ est l'événement conditionnant ; $ p(M_1)=0{,}6\neq 0 $.
Étape 2 : $ p_{M_1}(D) $ se lit sur la branche partant de $ M_1 $ vers $ D $.
Étape 3 :
Attention
Pièges fréquents :
- Confondre $ p_A(B) $ et $ p_B(A) $ : ces deux probabilités sont en général différentes.
- Diviser par $ p(B) $ au lieu de $ p(A) $ : on divise toujours par la probabilité de l'événement qui suit « sachant ».
- Sur un arbre pondéré, multiplier les probabilités d'une branche au lieu de lire directement la valeur cherchée.