Calculer le coefficient de similitude
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Pour calculer le coefficient de similitude entre deux triangles semblables :
- Vérifier la similitude : s'assurer que les deux triangles sont semblables (par les angles ou les longueurs).
- Identifier une paire de côtés homologues dont les longueurs sont connues.
- Calculer le rapport : $k = \dfrac{\text{longueur du triangle image}}{\text{longueur homologue du triangle initial}}$.
Configuration triangle rectangle et hauteur
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ avec $AB = 8$ cm et $AC = 6$ cm.
$H$ est le pied de la hauteur issue de $A$.
Calculer le coefficient de similitude pour passer du triangle $ABC$ au triangle $HAC$.
Étape 1 : Les triangles $ABC$ et $HAC$ sont semblables car ils ont l'angle $\widehat{C}$ en commun et un angle droit chacun ($\widehat{A}$ pour $ABC$, $\widehat{H}$ pour $HAC$).
Étape 2 : On identifie les hypoténuses comme paire de côtés homologues :
Hypoténuse de $ABC$ : c'est $[BC]$.
Hypoténuse de $HAC$ : c'est $[AC]$ (opposé à l'angle droit $\widehat{H}$).
Étape 3 : On calcule $BC$ avec le théorème de Pythagore :
$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ cm
Le coefficient de similitude est :
Comme $k < 1$, c'est une réduction.
Agrandissement
Deux triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables avec $A \leftrightarrow D$ et $B \leftrightarrow E$.
On sait que $AB = 5$ cm et $DE = 12$ cm.
Calculer le coefficient de similitude pour passer de $ABC$ à $DEF$.
Étape 1 : Les côtés $[AB]$ et $[DE]$ sont homologues (car $A \leftrightarrow D$ et $B \leftrightarrow E$).
Étape 2 : Le coefficient de similitude est :
Comme $k > 1$, c'est un agrandissement.
Remarque
Le coefficient $k$ dépend du sens choisi. Pour passer de $ABC$ à $DEF$, on a $k = \dfrac{DE}{AB}$. Pour passer de $DEF$ à $ABC$, on a $k' = \dfrac{AB}{DE} = \dfrac{1}{k}$.
Attention
Pour identifier les côtés homologues, il faut d'abord identifier les sommets homologues (ceux qui portent les angles égaux). Le côté homologue de $[AB]$ est celui qui relie les sommets correspondants de $A$ et de $B$ dans l'autre triangle.