Triangles semblables
Exercices
Triangles semblables par les côtés proportionnels
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On considère deux triangles $PQR$ et $KLM$ tels que :
- $PQ = 3$ cm, $QR = 4{,}5$ cm et $PR = 6$ cm ;
- $KL = 4$ cm, $LM = 6$ cm et $KM = 8$ cm.
- Classer les côtés de chaque triangle par ordre croissant de longueur.
- Calculer les rapports entre les côtés rangés dans le même ordre. Que constate-t-on ?
- Les triangles $PQR$ et $KLM$ sont-ils semblables ? Si oui, donner le coefficient de similitude et les correspondances entre sommets homologues.
Corrigé
- On classe les côtés par ordre croissant :
Triangle $PQR$ : $PQ = 3 < QR = 4{,}5 < PR = 6$
Triangle $KLM$ : $KL = 4 < LM = 6 < KM = 8$ - On calcule les rapports entre côtés de même rang :
$\dfrac{KL}{PQ} = \dfrac{4}{3}$
$\dfrac{LM}{QR} = \dfrac{6}{4{,}5} = \dfrac{12}{9} = \dfrac{4}{3}$
$\dfrac{KM}{PR} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$
Les trois rapports sont égaux. - Les côtés des deux triangles sont deux à deux proportionnels, donc les triangles $PQR$ et $KLM$ sont semblables.
Le coefficient de similitude est $k = \dfrac{4}{3}$.
Les sommets homologues (associés par les côtés de même rang) sont : $P \leftrightarrow K$, $Q \leftrightarrow L$ et $R \leftrightarrow M$.
Pour réviser : Calculer une longueur inconnue avec des triangles semblables