Reconnaître les paires d’angles
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Méthode
Lorsque deux droites se coupent, ou lorsque deux droites parallèles sont coupées par une sécante, on rencontre toujours l'une des quatre paires suivantes :
- Deux angles adjacents situés de part et d'autre d'une droite : ils sont supplémentaires, $ x + y = 180° $.
- Deux angles opposés par le sommet formés par deux droites sécantes : ils ont la même mesure.
- (Droites parallèles coupées par une sécante) Deux angles alternes-internes, entre les deux droites et de part et d'autre de la sécante : ils ont la même mesure.
- (Droites parallèles coupées par une sécante) Deux angles correspondants, du même côté de la sécante et dans la même position par rapport à leur droite : ils ont la même mesure.
Pour calculer un angle inconnu :
- Repérer la configuration (deux droites sécantes seules, ou deux parallèles coupées par une sécante).
- Identifier la paire d'angles en jeu.
- Appliquer la propriété adaptée.
Angles adjacents sur une droite
Sur une droite $ (AB) $, un point $ O $ porte une demi-droite $ [OC) $. L'angle $ \widehat{AOC} $ mesure $ 117° $. Calculer $ \widehat{COB} $.
Étape 1 : Identifier la paire.
$ \widehat{AOC} $ et $ \widehat{COB} $ ont le côté $ [OC) $ en commun et leurs autres côtés $ [OA) $ et $ [OB) $ forment la droite $ (AB) $ : ce sont des angles adjacents qui forment un angle plat.
Étape 2 : Appliquer la propriété.
La somme vaut $ 180° $ :
$ \widehat{COB} = 180° - 117° = $ $\mathbf{63°}$.
Angles opposés par le sommet
Deux droites $ (d_1) $ et $ (d_2) $ se coupent en $ O $. L'un des quatre angles formés mesure $ 42° $. Quelle est la mesure de l'angle opposé par le sommet ?
Étape 1 : Identifier la paire.
Les deux angles ont le même sommet $ O $ et leurs côtés sont portés par les mêmes droites $ (d_1) $ et $ (d_2) $, mais dans des directions opposées : ce sont des angles opposés par le sommet.
Étape 2 : Appliquer la propriété.
Les angles opposés par le sommet ont la même mesure :
l'angle opposé mesure aussi $\mathbf{42°}$.
Angles alternes-internes
Les droites $ (EF) $ et $ (GH) $ sont parallèles. Une sécante les coupe en $ I $ et $ J $. On sait que $ \widehat{EIJ} = 125° $. Calculer $ \widehat{IJH} $.
Étape 1 : Identifier la paire.
$ \widehat{EIJ} $ et $ \widehat{IJH} $ sont entre les deux droites et de part et d'autre de la sécante : ce sont des angles alternes-internes.
Étape 2 : Appliquer la propriété.
$ (EF) $ et $ (GH) $ sont parallèles, donc les angles alternes-internes sont égaux :
$ \widehat{IJH} = \widehat{EIJ} = $ $\mathbf{125°}$.
Angles correspondants
Les droites $ (d_1) $ et $ (d_2) $ sont parallèles et coupées par une sécante en $ A $ et $ B $. L'angle en $ A $, au-dessus de $ (d_1) $ et à droite de la sécante, mesure $ 48° $. Calculer l'angle en $ B $ situé dans la même position (au-dessus de $ (d_2) $, à droite de la sécante).
Étape 1 : Identifier la paire.
Les deux angles sont du même côté de la sécante et dans la même position par rapport à leur droite : ce sont des angles correspondants.
Étape 2 : Appliquer la propriété.
Les droites sont parallèles, donc les angles correspondants ont la même mesure :
l'angle en $ B $ mesure $\mathbf{48°}$.
Attention
- Les propriétés des angles alternes-internes et correspondants exigent que les deux droites soient parallèles. Sans cette hypothèse, les angles ne sont pas nécessairement égaux.
- Des angles situés du même côté de la sécante mais l'un au-dessus et l'autre en dessous de leur droite respective ne forment ni une paire d'alternes-internes, ni une paire de correspondants.