Déterminer l’expression d’une fonction linéaire
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Si $f$ est une fonction linéaire et si l'on connaît un nombre $x_0 \neq 0$ et son image $f(x_0)$, alors le coefficient $a$ se calcule par :
- Identifier un couple (antécédent ; image) avec l'antécédent non nul.
- Calculer le coefficient $a = \dfrac{f(x_0)}{x_0}$.
- Écrire l'expression de la fonction : $f(x) = ax$.
À partir d'un couple donné
On sait que $f$ est une fonction linéaire telle que $f(4) = -10$.
Déterminer l'expression de $f$.
Étape 1 : On identifie le couple : l'antécédent est $4$ et l'image est $-10$.
Étape 2 : On calcule le coefficient :
$a = \dfrac{f(4)}{4} = \dfrac{-10}{4} = -2{,}5$
Étape 3 : On écrit l'expression :
À partir d'un tableau de proportionnalité
Le tableau suivant représente une situation de proportionnalité :
| $x$ | 3 | 6 | 9 |
| $f(x)$ | 7,5 | 15 | 22,5 |
Déterminer la fonction linéaire associée.
Étape 1 : On choisit le couple le plus simple : $x_0 = 3$ et $f(3) = 7{,}5$.
Étape 2 : On calcule le coefficient :
$a = \dfrac{7{,}5}{3} = 2{,}5$
Étape 3 : L'expression est :
On peut vérifier avec un autre couple : $f(6) = 2{,}5 \times 6 = 15$.
À partir d'un contexte concret
Un robinet remplit une cuve à débit constant. En 5 minutes, 40 litres se sont écoulés.
Exprimer le volume d'eau $V$ (en litres) en fonction du temps $t$ (en minutes).
Étape 1 : Le débit est constant, donc $V$ est proportionnel à $t$. On a le couple $t = 5$ et $V = 40$.
Étape 2 : On calcule le coefficient (le débit) :
$a = \dfrac{40}{5} = 8$
Étape 3 : La fonction linéaire est :
Le robinet débite 8 litres par minute.
Remarque
On peut utiliser n'importe quel couple (antécédent ; image) du tableau pour calculer le coefficient $a$. On obtient toujours le même résultat car la situation est proportionnelle.
Attention
Le calcul du coefficient est $a = \dfrac{\text{image}}{\text{antécédent}}$ et non l'inverse. Une erreur fréquente est de diviser l'antécédent par l'image.