Deux livreurs à vitesse constante

Durée estimée

15 minutes

Difficulté

Deux livreurs, Antoine et Bilal, partent en même temps du même entrepôt pour effectuer leurs livraisons sur la même route.

Antoine roule à vitesse constante. En 2 heures, il a parcouru 90 km.
Bilal roule à la vitesse constante de 60 km/h.

On note $d_A$ la fonction qui donne la distance parcourue par Antoine (en km) en fonction du temps $t$ (en heures).
1. Justifier que $d_A$ est une fonction linéaire.
2. Déterminer le coefficient de cette fonction et interpréter sa signification.
3. Écrire l'expression de $d_A(t)$.
On note $d_B$ la fonction qui donne la distance parcourue par Bilal en fonction du temps $t$ (en heures). Écrire l'expression de $d_B(t)$.
Calculer la distance parcourue par chaque livreur au bout de 3 heures et 30 minutes.
Antoine doit livrer un client situé à 270 km de l'entrepôt. En combien de temps atteint-il ce client ?
Au bout de combien de temps Bilal a-t-il exactement 45 km d'avance sur Antoine ?

Corrigé

1. Antoine roule à vitesse constante, donc la distance parcourue est proportionnelle au temps. La fonction $d_A$ est bien une fonction linéaire.
2. Le coefficient est :
  $a = \dfrac{d_A(2)}{2} = \dfrac{90}{2} = 45$
  Le coefficient $\mathbf{45}$ représente la vitesse d'Antoine : il roule à 45 km/h.
3. La fonction s'écrit :
  
  $d_A(t) = 45t$
Bilal roule à 60 km/h, sa distance est proportionnelle au temps :

$d_B(t) = 60t$
On convertit 3 heures et 30 minutes en heures : $t = 3{,}5$ h.
Pour Antoine : $d_A(3{,}5) = 45 \times 3{,}5 = 157{,}5$
Pour Bilal : $d_B(3{,}5) = 60 \times 3{,}5 = 210$
Au bout de 3 h 30 min, Antoine a parcouru 157,5 km et Bilal a parcouru 210 km.
On cherche $t$ tel que $d_A(t) = 270$ :
$45t = 270$
$t = \dfrac{270}{45} = 6$
Antoine atteint son client au bout de 6 heures.
On cherche $t$ tel que $d_B(t) - d_A(t) = 45$ :
$60t - 45t = 45$
$15t = 45$
$t = \dfrac{45}{15} = 3$
Bilal a exactement 45 km d'avance sur Antoine au bout de 3 heures.

On peut vérifier : $d_B(3) = 180$ et $d_A(3) = 135$, et $180 - 135 = 45$.

Pour réviser : Déterminer l'expression d'une fonction linéaire