Calculer l’image ou l’antécédent par une fonction linéaire
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Rappel
Une fonction linéaire de coefficient $a$ est définie par $f(x) = ax$.
- L'image de $x$ par $f$ est le nombre $f(x)$.
- Un antécédent de $y$ par $f$ est le nombre $x$ tel que $f(x) = y$.
Méthode : calculer une image
Pour calculer l'image d'un nombre $x_0$ par la fonction linéaire $f(x) = ax$ :
- Remplacer $x$ par la valeur $x_0$ dans l'expression $f(x) = ax$.
- Effectuer le calcul $a \times x_0$.
Calculer une image
On considère la fonction linéaire $f$ définie par $f(x) = -4x$.
Calculer l'image de $3$ par $f$.
Étape 1 : On remplace $x$ par $3$ dans l'expression :
$f(3) = -4 \times 3$
Étape 2 : On effectue le calcul :
L'image de $3$ par la fonction $f$ est $-12$.
Image d'un nombre négatif
On considère la fonction linéaire $g$ définie par $g(x) = \dfrac{3}{2}x$.
Calculer $g(-6)$.
Étape 1 : On remplace $x$ par $-6$ :
$g(-6) = \dfrac{3}{2} \times (-6)$
Étape 2 : On effectue le calcul :
$g(-6) = \dfrac{3 \times (-6)}{2} = \dfrac{-18}{2}$
L'image de $-6$ par $g$ est $-9$.
Méthode : retrouver un antécédent
Pour retrouver l'antécédent d'un nombre $y_0$ par la fonction linéaire $f(x) = ax$ :
- Poser l'équation $ax = y_0$.
- Résoudre l'équation en divisant par $a$ (avec $a \neq 0$) : $x = \dfrac{y_0}{a}$.
Retrouver un antécédent
Soit la fonction linéaire $f$ définie par $f(x) = 5x$.
Déterminer l'antécédent de $30$ par $f$.
Étape 1 : On pose l'équation :
$5x = 30$
Étape 2 : On divise les deux membres par $5$ :
$x = \dfrac{30}{5}$
L'antécédent de $30$ par $f$ est $6$.
On peut vérifier : $f(6) = 5 \times 6 = 30$.
Antécédent avec un coefficient fractionnaire
Soit la fonction linéaire $h$ définie par $h(x) = \dfrac{2}{3}x$.
Quel nombre a pour image $8$ par $h$ ?
Étape 1 : On pose l'équation :
$\dfrac{2}{3}x = 8$
Étape 2 : On multiplie les deux membres par $\dfrac{3}{2}$ (l'inverse du coefficient) :
$x = 8 \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{24}{2}$
L'antécédent de $8$ par $h$ est $12$.
Vérification : $h(12) = \dfrac{2}{3} \times 12 = \dfrac{24}{3} = 8$.
Attention
Ne pas confondre image et antécédent :
- Pour calculer une image, on multiplie par le coefficient $a$.
- Pour retrouver un antécédent, on divise par le coefficient $a$.