Déterminer le sens de variation d’une fonction affine
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Pour déterminer le sens de variation de $f(x) = ax + b$ :
- Étape 1 : Identifier le coefficient directeur $a$
- Étape 2 : Déterminer le signe de $a$
- Étape 3 : Conclure : si $a > 0$, $f$ est strictement croissante ; si $a < 0$, $f$ est strictement décroissante ; si $a = 0$, $f$ est constante
Fonction à coefficient positif
Soit $f(x) = 3x - 7$. Déterminer le sens de variation de $f$.
Étape 1 : Le coefficient directeur est $a = 3$.
Étape 2 : On a $a = 3 > 0$.
Étape 3 : La fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Fonction à coefficient négatif
Soit $g(x) = -\dfrac{2}{5}x + 1$. Déterminer le sens de variation de $g$.
Étape 1 : Le coefficient directeur est $a = -\dfrac{2}{5}$.
Étape 2 : On a $a = -\dfrac{2}{5} < 0$.
Étape 3 : La fonction $g$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
Reconnaissance graphique
Sur un graphique, on observe que la droite $\mathscr{D}$ « monte » quand on la parcourt de gauche à droite.
La droite monte, donc le coefficient directeur est positif : la fonction affine associée est strictement croissante.
Inversement, une droite qui « descend » de gauche à droite correspond à un coefficient directeur négatif : la fonction est strictement décroissante.
Remarque
Le sens de variation ne dépend que du coefficient directeur $a$ et pas de l'ordonnée à l'origine $b$. Changer $b$ translate la droite verticalement sans modifier si elle monte ou descend.
Attention
Ne pas confondre le signe de $f(x)$ avec le sens de variation de $f$. Par exemple, $f(x) = 2x - 100$ est croissante (car $a = 2 > 0$), même si $f(x)$ est négatif pour beaucoup de valeurs de $x$.