Opérations sur les fractions
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Créer un compteObjectifs du chapitre
1 - Addition et soustraction de fractions de même dénominateur
Addition et soustraction
Pour additionner (ou soustraire) deux fractions qui ont le même dénominateur, on additionne (ou on soustrait) les numérateurs et on garde le même dénominateur :
Exemple
- $ \dfrac{4}{7} + \dfrac{2}{7} = \dfrac{4 + 2}{7} = \dfrac{6}{7} $
- $ \dfrac{11}{5} - \dfrac{3}{5} = \dfrac{11 - 3}{5} = \dfrac{8}{5} $
- $ \dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{3 + 1}{8} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2} $ (on simplifie le résultat)
Attention
On additionne (ou soustrait) les numérateurs uniquement. Le dénominateur ne change pas.
Erreur classique : écrire $ \dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{5} = \dfrac{5}{10} $. Le résultat correct est $ \dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{5} = \dfrac{5}{5} = 1 $.
2 - Addition et soustraction de fractions de dénominateurs différents
Propriété
Pour additionner ou soustraire des fractions qui n'ont pas le même dénominateur, on commence par les réduire au même dénominateur en utilisant la propriété des fractions égales, puis on applique la règle précédente.
Dénominateurs multiples l'un de l'autre
Calculer $ \dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{8} $.
Le dénominateur $ 8 $ est un multiple de $ 4 $ (car $ 4 \times 2 = 8 $). On écrit $ \dfrac{3}{4} $ avec le dénominateur $ 8 $ :
$ \dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{6}{8} $
$ \dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{8} = \dfrac{6}{8} + \dfrac{5}{8} = \dfrac{11}{8} $
Cas général
Calculer $ \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4} $.
Les dénominateurs $ 3 $ et $ 4 $ n'ont pas de lien de multiple. On utilise le produit $ 3 \times 4 = 12 $ comme dénominateur commun :
$ \dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{8}{12} $ et $ \dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{3}{12} $
$ \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{5}{12} $
Utiliser le plus petit multiple commun
Calculer $ \dfrac{5}{6} + \dfrac{7}{4} $.
Les dénominateurs sont $ 6 $ et $ 4 $. Le plus petit multiple commun de $ 6 $ et $ 4 $ est $ 12 $ (et non $ 24 = 6 \times 4 $).
$ \dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \times 2}{6 \times 2} = \dfrac{10}{12} $ et $ \dfrac{7}{4} = \dfrac{7 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{21}{12} $
$ \dfrac{5}{6} + \dfrac{7}{4} = \dfrac{10}{12} + \dfrac{21}{12} = \dfrac{31}{12} $
Entier et fraction
Calculer $ 3 - \dfrac{11}{6} $.
On écrit $ 3 $ sous forme de fraction de dénominateur $ 6 $ : $ 3 = \dfrac{3}{1} = \dfrac{3 \times 6}{1 \times 6} = \dfrac{18}{6} $.
$ 3 - \dfrac{11}{6} = \dfrac{18}{6} - \dfrac{11}{6} = \dfrac{7}{6} $
Remarque
Lorsqu'aucun des dénominateurs n'est multiple de l'autre, on peut toujours utiliser leur produit comme dénominateur commun. Mais il est souvent plus simple de chercher le plus petit multiple commun (PPCM) pour éviter de manipuler de grands nombres.
3 - Multiplier une fraction par un nombre
Propriété
Pour multiplier une fraction par un nombre $ c $, on multiplie le numérateur par $ c $ et on garde le même dénominateur :
Exemple
- $ 3 \times \dfrac{5}{7} = \dfrac{3 \times 5}{7} = \dfrac{15}{7} $
- $ 4 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{4 \times 2}{3} = \dfrac{8}{3} $
- $ 1{,}5 \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{1{,}5 \times 4}{5} = \dfrac{6}{5} $
Remarque
On peut simplifier avant de multiplier pour obtenir directement un résultat plus simple.
$ 6 \times \dfrac{5}{9} = \dfrac{6 \times 5}{9} $. Or $ 6 $ et $ 9 $ sont divisibles par $ 3 $ : on simplifie $ \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3} $, donc $ 6 \times \dfrac{5}{9} = \dfrac{2 \times 5}{3} = \dfrac{10}{3} $.
Attention
Cette règle permet de multiplier une fraction par un nombre entier ou décimal. La multiplication de deux fractions entre elles est au programme de 4e.
4 - Prendre une fraction d'une quantité
Définition
Prendre $ \dfrac{a}{b} $ d'une quantité, c'est multiplier cette quantité par $ \dfrac{a}{b} $.
Exemple
Calculer les $ \dfrac{2}{3} $ de $ 45 $ kg.
$ \dfrac{2}{3} \times 45 = \dfrac{2 \times 45}{3} = \dfrac{90}{3} = 30 $
Les $ \dfrac{2}{3} $ de $ 45 $ kg font $ 30 $ kg.
Exemple
Un réservoir contient $ 60 $ L d'eau. On en utilise les $ \dfrac{3}{4} $. Quel volume a été utilisé ?
$ \dfrac{3}{4} \times 60 = \dfrac{3 \times 60}{4} = \dfrac{180}{4} = 45 $
On a utilisé $ 45 $ L.
Remarque
Pour calculer $ \dfrac{a}{b} $ d'une quantité $ q $, on peut procéder en deux étapes :
- Diviser $ q $ par $ b $ (on obtient $ \dfrac{1}{b} $ de la quantité),
- Multiplier le résultat par $ a $.
Par exemple, $ \dfrac{3}{4} $ de $ 60 $ : on calcule $ 60 \div 4 = 15 $, puis $ 15 \times 3 = 45 $.
Les questions essentielles
1. Comment additionner ou soustraire des fractions ?
Si les fractions ont le même dénominateur, on additionne (ou soustrait) les numérateurs en gardant le dénominateur. Sinon, on réduit d'abord au même dénominateur.
Voir la fiche méthode : Additionner ou soustraire des fractions
2. Comment multiplier une fraction par un nombre ?
On multiplie le numérateur par le nombre et on garde le dénominateur. On peut simplifier avant ou après la multiplication.
Voir la fiche méthode : Multiplier une fraction par un nombre
3. Comment calculer la fraction d'une quantité ?
Prendre une fraction d'une quantité revient à multiplier la quantité par la fraction. On peut diviser d'abord par le dénominateur, puis multiplier par le numérateur.
Voir la fiche méthode : Calculer la fraction d'une quantité
4. Comment résoudre un problème avec des fractions ?
On repère les données, on traduit l'énoncé en calcul fractionnaire (addition, soustraction ou fraction d'une quantité), on effectue les calculs et on interprète le résultat dans le contexte du problème.
Voir la fiche méthode : Résoudre un problème avec des fractions