Angles et parallélisme
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1 - Vocabulaire et mesure des angles
Définition
Un angle est une portion du plan délimitée par deux demi-droites de même origine.
- Le point commun aux deux demi-droites est le sommet de l'angle.
- Les deux demi-droites sont les côtés de l'angle.
L'angle de sommet $ O $ et de côtés $ [OA) $ et $ [OB) $ se note $ \widehat{AOB} $ ou $ \widehat{BOA} $.
Classification des angles
On classe les angles selon leur mesure :
- Un angle nul mesure $ 0° $.
- Un angle aigu a une mesure strictement comprise entre $ 0° $ et $ 90° $.
- Un angle droit mesure exactement $ 90° $.
- Un angle obtus a une mesure strictement comprise entre $ 90° $ et $ 180° $.
- Un angle plat mesure exactement $ 180° $.
Exemple
Un angle de $ 42° $ est un angle aigu (entre $ 0° $ et $ 90° $).
Un angle de $ 135° $ est un angle obtus (entre $ 90° $ et $ 180° $).
Mesure au rapporteur
L'unité de mesure des angles est le degré, noté °. On utilise un rapporteur pour mesurer ou tracer un angle.
Pour mesurer un angle $ \widehat{AOB} $ :
- Placer le centre du rapporteur sur le sommet de l'angle.
- Aligner le zéro d'une des graduations sur l'un des côtés.
- Lire la mesure sur cette graduation où passe l'autre côté.
Attention
Le rapporteur possède deux graduations (intérieure et extérieure). Il faut repérer celle qui part de $ 0° $ sur le côté choisi pour ne pas lire le mauvais angle.
2 - Angles adjacents, complémentaires et supplémentaires
Angles adjacents
Deux angles sont adjacents lorsqu'ils ont :
- le même sommet,
- un côté commun,
- et qu'ils sont situés de part et d'autre de ce côté commun.
Exemple
Trois demi-droites $ [OA) $, $ [OB) $ et $ [OC) $ partent du même point $ O $, avec $ [OB) $ entre $ [OA) $ et $ [OC) $. Les angles $ \widehat{AOB} $ et $ \widehat{BOC} $ sont adjacents : même sommet $ O $, côté commun $ [OB) $, situés de part et d'autre de $ [OB) $.
On a alors $ \widehat{AOC} = \widehat{AOB} + \widehat{BOC} $.
Angles complémentaires
Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à $ 90° $.
Exemple
Les angles de mesures $ 35° $ et $ 55° $ sont complémentaires car $ 35 + 55 = 90 $.
L'angle complémentaire d'un angle de $ 62° $ mesure $ 90 - 62 = 28° $.
Angles supplémentaires
Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à $ 180° $.
Exemple
Les angles de mesures $ 120° $ et $ 60° $ sont supplémentaires car $ 120 + 60 = 180 $.
L'angle supplémentaire d'un angle de $ 47° $ mesure $ 180 - 47 = 133° $.
Attention
Ne pas confondre complémentaires (somme = $ 90° $) et supplémentaires (somme = $ 180° $). Retenir : dans l'ordre alphabétique, Complémentaire vient avant Supplémentaire, comme $ 90 $ vient avant $ 180 $.
3 - Angles opposés par le sommet
Définition
Deux angles sont opposés par le sommet lorsqu'ils sont formés par deux droites sécantes et qu'ils ne sont pas adjacents.
Propriété
Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.
Exemple
Sur la figure ci-dessus, les droites $ (AB) $ et $ (MN) $ se coupent en $ O $. Les angles $ \widehat{BON} $ et $ \widehat{AOM} $ sont opposés par le sommet : ils ont la même mesure $ \alpha $. Les angles $ \widehat{NOA} $ et $ \widehat{MOB} $ sont aussi opposés par le sommet : ils ont la même mesure $ \beta $.
Si $ \alpha = 53° $, alors $ \beta = 180 - 53 = 127° $ (car $ \alpha $ et $ \beta $ sont supplémentaires).
Remarque
Deux angles adjacents formés par deux droites sécantes sont toujours supplémentaires (leur somme vaut $ 180° $).
4 - Angles formés par deux droites parallèles et une sécante
Angles alternes-internes
Deux droites $ (d_1) $ et $ (d_2) $ sont coupées par une sécante $ (s) $ en deux points $ A $ et $ B $. Deux angles sont alternes-internes lorsqu'ils :
- ont pour sommets $ A $ et $ B $ (un angle en chaque point d'intersection),
- sont situés de part et d'autre de la sécante $ (s) $,
- sont situés entre les deux droites $ (d_1) $ et $ (d_2) $.
Angles correspondants
Avec les mêmes notations, deux angles sont correspondants lorsqu'ils :
- ont pour sommets $ A $ et $ B $,
- sont situés du même côté de la sécante $ (s) $,
- sont dans la même position par rapport à leur droite (tous les deux au-dessus ou tous les deux en dessous).
Sur la figure, les angles $ \alpha $ en $ A $ et en $ B $ forment une paire d'angles alternes-internes : ils sont entre les deux droites, de part et d'autre de la sécante.
Propriété
Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes ont la même mesure.
Propriété
Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles correspondants ont la même mesure.
Exemple
Les droites $ (d_1) $ et $ (d_2) $ sont parallèles. La sécante $ (s) $ les coupe en $ A $ et $ B $. Un angle alterne-interne en $ B $ mesure $ 55° $.
Comme $ (d_1) $ et $ (d_2) $ sont parallèles, l'angle alterne-interne en $ A $ a la même mesure : il vaut aussi $ 55° $.
Réciproque
Si deux droites sont coupées par une sécante en formant des angles alternes-internes de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles.
Cette propriété fonctionne aussi avec les angles correspondants.
Exemple
Deux droites $ (d_1) $ et $ (d_2) $ sont coupées par une sécante. On mesure deux angles alternes-internes : ils valent tous les deux $ 72° $.
Comme ces angles alternes-internes ont la même mesure, les droites $ (d_1) $ et $ (d_2) $ sont parallèles.
Attention
Pour appliquer ces propriétés, il faut d'abord vérifier que les angles considérés sont bien alternes-internes (ou correspondants). Des angles quelconques formés par une sécante ne sont pas nécessairement égaux.
5 - Somme des angles d'un triangle
Somme des angles d'un triangle
Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est toujours égale à $ 180° $.
Exemple
Dans le triangle $ ABC $, on sait que $ \widehat{BAC} = 50° $ et $ \widehat{ABC} = 70° $. Calculer $ \widehat{BCA} $.
La somme des angles vaut $ 180° $ :
$ \widehat{BCA} = 180 - 50 - 70 $
$ \widehat{BCA} = 60° $
Exemple
Dans le triangle $ DEF $, on sait que $ \widehat{DEF} = 42° $ et $ \widehat{EFD} = 103° $. Calculer $ \widehat{FDE} $.
$ \widehat{FDE} = 180 - 42 - 103 $
$ \widehat{FDE} = 35° $
Exemple
Dans un triangle rectangle en $ A $, l'angle $ \widehat{ABC} $ mesure $ 32° $. Calculer $ \widehat{BCA} $.
Le triangle est rectangle en $ A $, donc $ \widehat{BAC} = 90° $.
$ \widehat{BCA} = 180 - 90 - 32 $
$ \widehat{BCA} = 58° $
Attention
Si la somme des deux angles connus dépasse $ 180° $, c'est qu'il y a une erreur dans les données ou le calcul. La mesure de chaque angle d'un triangle est toujours strictement positive.
Les questions essentielles
1. Comment calculer un angle complémentaire ou supplémentaire ?
L'angle complémentaire d'un angle de mesure $ a $ vaut $ 90 - a $ et l'angle supplémentaire vaut $ 180 - a $.
Voir la fiche méthode : Calculer un angle complémentaire ou supplémentaire
2. Comment utiliser les angles alternes-internes avec des droites parallèles ?
Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles alternes-internes (et les angles correspondants) ont la même mesure. Repérer la paire d'angles, puis reporter la mesure connue.
Voir la fiche méthode : Calculer un angle à l'aide de droites parallèles
3. Comment calculer le troisième angle d'un triangle ?
La somme des trois angles vaut $ 180° $. Soustraire la somme des deux angles connus de $ 180 $ pour obtenir le troisième.
Voir la fiche méthode : Calculer le troisième angle d'un triangle
4. Comment démontrer que deux droites sont parallèles ?
Montrer que deux angles alternes-internes (ou correspondants) formés par ces droites et une sécante ont la même mesure. La réciproque de la propriété permet alors de conclure que les droites sont parallèles.
Voir la fiche méthode : Démontrer que deux droites sont parallèles