Démontrer que deux droites sont parallèles
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Méthode
Pour démontrer que deux droites sont parallèles, on utilise la réciproque :
- Identifier deux angles alternes-internes (ou correspondants) formés par les deux droites et une sécante.
- Montrer que ces deux angles ont la même mesure.
- Conclure que les droites sont parallèles.
Exemple
Deux droites $ (d_1) $ et $ (d_2) $ sont coupées par une sécante $ (s) $. On mesure les angles alternes-internes : ils valent tous les deux $ 48° $. Montrer que $ (d_1) $ et $ (d_2) $ sont parallèles.
Étape 1 : Identifier la nature des angles.
Les deux angles sont entre les droites $ (d_1) $ et $ (d_2) $ et de part et d'autre de la sécante $ (s) $ : ce sont des angles alternes-internes.
Étape 2 : Comparer les mesures.
Les deux angles alternes-internes mesurent $ 48° $ : ils ont la même mesure.
Étape 3 : Conclure.
Or, si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes de même mesure, alors ces droites sont parallèles.
Donc $ (d_1) $ et $ (d_2) $ sont parallèles.
Exemple
Sur une figure, les droites $ (TI) $ et $ (CE) $ sont coupées par la sécante $ (TC) $. On sait que $ \widehat{TIC} = 119° $ et $ \widehat{ICE} = 119° $. Démontrer que $ (TI) $ et $ (CE) $ sont parallèles.
Étape 1 : Identifier les angles.
Les angles $ \widehat{TIC} $ et $ \widehat{ICE} $ ont pour sommets $ I $ (sur $ (TI) $) et $ C $ (sur $ (CE) $). Ils sont entre les droites et de part et d'autre de la sécante : ce sont des angles alternes-internes.
Étape 2 : Comparer les mesures.
$ \widehat{TIC} = 119° $ et $ \widehat{ICE} = 119° $ : les deux angles ont la même mesure.
Étape 3 : Conclure.
Les droites $ (TI) $ et $ (CE) $ sont coupées par la sécante $ (TC) $ et forment des angles alternes-internes de même mesure. Donc $ (TI) $ et $ (CE) $ sont parallèles.
Exemple
Trois droites se coupent. On connait l'angle $ \widehat{PAU} = 130° $ en $ A $ et l'angle $ \widehat{ALU} = 50° $ en $ L $. Les droites $ (PA) $ et $ (LU) $ sont-elles parallèles ?
Étape 1 : Identifier une paire d'angles.
Les angles $ \widehat{PAU} $ et $ \widehat{ALU} $ ne sont pas alternes-internes (ils ne sont pas de part et d'autre de la sécante).
Étape 2 : Chercher des angles alternes-internes ou correspondants.
L'angle adjacent et supplémentaire de $ \widehat{PAU} $ mesure $ 180 - 130 = 50° $.
Cet angle de $ 50° $ est alterne-interne avec $ \widehat{ALU} = 50° $.
Étape 3 : Conclure.
Les angles alternes-internes ont la même mesure ($ 50° $), donc $ (PA) $ et $ (LU) $ sont parallèles.
Attention
Le raisonnement doit toujours suivre les trois étapes : identifier les angles, comparer les mesures, conclure. Ne pas écrire « les droites sont parallèles car les angles sont égaux » sans préciser qu'il s'agit d'angles alternes-internes ou correspondants.