Calculer le troisième angle d’un triangle
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Méthode
La somme des trois angles d'un triangle vaut $ 180° $.
Pour calculer le troisième angle quand on connait les deux autres :
- Additionner les deux angles connus.
- Soustraire cette somme de $ 180 $.
Exemple
Dans le triangle $ ABC $, $ \widehat{BAC} = 65° $ et $ \widehat{ABC} = 45° $. Calculer $ \widehat{BCA} $.
Étape 1 : Additionner les deux angles connus.
$ 65 + 45 = 110 $
Étape 2 : Soustraire de $ 180 $.
$ \widehat{BCA} = 180 - 110 = 70 $
L'angle $ \widehat{BCA} $ mesure $\mathbf{70°}$.
Vérification : $ 65 + 45 + 70 = 180 $.
Exemple
Dans un triangle $ DEF $ rectangle en $ D $, l'angle $ \widehat{DEF} $ mesure $ 32° $. Calculer $ \widehat{EFD} $.
Étape 1 : Repérer les angles connus.
Le triangle est rectangle en $ D $, donc $ \widehat{FDE} = 90° $.
On connait aussi $ \widehat{DEF} = 32° $.
Étape 2 : Calculer le troisième angle.
$ \widehat{EFD} = 180 - 90 - 32 = 58 $
L'angle $ \widehat{EFD} $ mesure $\mathbf{58°}$.
Vérification : $ 90 + 32 + 58 = 180 $.
Exemple
Un triangle $ IJK $ est isocèle en $ I $ avec $ \widehat{JIK} = 40° $. Calculer les angles à la base $ \widehat{IJK} $ et $ \widehat{IKJ} $.
Étape 1 : Utiliser la propriété du triangle isocèle.
Le triangle est isocèle en $ I $, donc les deux angles à la base sont égaux : $ \widehat{IJK} = \widehat{IKJ} $.
Étape 2 : Calculer les angles à la base.
La somme des trois angles vaut $ 180° $ :
$ \widehat{JIK} + \widehat{IJK} + \widehat{IKJ} = 180 $
$ 40 + 2 \times \widehat{IJK} = 180 $
$ 2 \times \widehat{IJK} = 180 - 40 = 140 $
$ \widehat{IJK} = 140 \div 2 = 70 $
Les angles à la base mesurent chacun $\mathbf{70°}$.
Vérification : $ 40 + 70 + 70 = 180 $.
Attention
Si le résultat obtenu est négatif ou nul, vérifier les données : la somme des deux angles connus ne peut pas dépasser $ 180° $. Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires (leur somme vaut $ 90° $).