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Puissances et écriture scientifique Cours

Puissances et écriture scientifique

Durée estimée
25 minutes
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Objectifs du chapitre

1 - Puissance d'un nombre

Définition

Soit $ a $ un nombre relatif et $ n $ un nombre entier supérieur ou égal à $ 2 $.

Le produit de $ n $ facteurs tous égaux à $ a $ se note $ a^{n} $ et se lit « $ a $ exposant $ n $ » :

$ a^{n} = \underbrace{a \times a \times \ldots \times a}_{n \text{ facteurs}} $

Le nombre $ n $ s'appelle l'exposant et $ a $ la base.

Exemple

  • $ 2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32 $
  • $ (-3)^{4} = (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3) = 81 $
  • $ 0{,}1^{3} = 0{,}1 \times 0{,}1 \times 0{,}1 = 0{,}001 $

Cas particuliers

Pour tout nombre relatif $ a $ non nul :

  • $ a^{1} = a $
  • $ a^{0} = 1 $

Exemple

$ 7^{1} = 7 $, $ (-5)^{0} = 1 $, $ 100^{0} = 1 $.

Attention

Attention à la place des parenthèses avec les nombres négatifs :

  • $ (-2)^{4} = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = 16 $ : le signe négatif fait partie de la base.
  • $ -2^{4} = -(2 \times 2 \times 2 \times 2) = -16 $ : seul $ 2 $ est élevé à la puissance $ 4 $, puis on applique le signe $ - $.

Signe d'une puissance

Pour tout nombre relatif $ a $ négatif et tout entier $ n \geqslant 1 $ :

  • si $ n $ est pair, alors $ a^{n} $ est positif ;
  • si $ n $ est impair, alors $ a^{n} $ est négatif.

Exemple

  • $ (-3)^{2} = 9 > 0 $ (exposant pair).
  • $ (-3)^{3} = -27 < 0 $ (exposant impair).

Remarque

Dans une expression sans parenthèses, les puissances se calculent avant les multiplications, les divisions, les additions et les soustractions.

Exemple

Calculer $ A = 1 + 3 \times 2^{3} $.

On commence par la puissance : $ 2^{3} = 8 $.
Puis la multiplication : $ 3 \times 8 = 24 $.
Enfin l'addition : $ A = 1 + 24 = 25 $.

2 - Puissance d'exposant négatif

Définition

Soit $ a $ un nombre relatif non nul et $ n $ un nombre entier strictement positif.

Le nombre $ a^{-n} $ désigne l'inverse du nombre $ a^{n} $ :

$ a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}} $

Exemple

  • $ 2^{-3} = \dfrac{1}{2^{3}} = \dfrac{1}{8} $
  • $ 5^{-2} = \dfrac{1}{5^{2}} = \dfrac{1}{25} $
  • $ 7^{-1} = \dfrac{1}{7} $

Avec une base négative

$ (-7)^{-3} = \dfrac{1}{(-7)^{3}} = \dfrac{1}{-343} = -\dfrac{1}{343} $

3 - Puissances de 10

Puissances de 10 positives

Pour tout entier $ n $ strictement positif :

$ 10^{n} = \underbrace{10 \times 10 \times \ldots \times 10}_{n \text{ facteurs}} = 1\underbrace{0\,0\ldots 0}_{n \text{ zéros}} $

Exemple

  • $ 10^{1} = 10 $ (un zéro)
  • $ 10^{3} = 1\,000 $ (trois zéros)
  • $ 10^{6} = 1\,000\,000 $ (un million, six zéros)
  • $ 10^{9} = 1\,000\,000\,000 $ (un milliard, neuf zéros)

Puissances de 10 négatives

Pour tout entier $ n $ strictement positif :

$ 10^{-n} = \dfrac{1}{10^{n}} = 0{,}\underbrace{0\,0\ldots 0}_{n-1 \text{ zéros}}1 $

Exemple

  • $ 10^{-1} = 0{,}1 $ (un dixième)
  • $ 10^{-3} = 0{,}001 $ (un millième)
  • $ 10^{-6} = 0{,}000\,001 $ (un millionième)

Remarque

Multiplier par $ 10^{n} $ ($ n > 0 $) revient à décaler la virgule de $ n $ rangs vers la droite.
Multiplier par $ 10^{-n} $ ($ n > 0 $) revient à décaler la virgule de $ n $ rangs vers la gauche.

Exemple

  • $ 3{,}45 \times 10^{4} = 34\,500 $
  • $ 72 \times 10^{-3} = 0{,}072 $

4 - Règles de calcul sur les puissances

Produit de puissances de même base

Pour $ a $ non nul et $ n $, $ m $ entiers relatifs :

$ a^{n} \times a^{m} = a^{n+m} $

On additionne les exposants.

Exemple

$ 3^{4} \times 3^{2} = 3^{4+2} = 3^{6} = 729 $

$ 10^{5} \times 10^{-2} = 10^{5+(-2)} = 10^{3} = 1\,000 $

Quotient de puissances de même base

Pour $ a $ non nul et $ n $, $ m $ entiers relatifs :

$ \dfrac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n-m} $

On soustrait les exposants.

Exemple

$ \dfrac{5^{7}}{5^{3}} = 5^{7-3} = 5^{4} = 625 $

$ \dfrac{10^{2}}{10^{5}} = 10^{2-5} = 10^{-3} = 0{,}001 $

Puissance d'une puissance

Pour $ a $ non nul et $ n $, $ m $ entiers relatifs :

$ \left(a^{n}\right)^{m} = a^{n \times m} $

On multiplie les exposants.

Exemple

$ \left(10^{3}\right)^{2} = 10^{3 \times 2} = 10^{6} $

$ \left(2^{4}\right)^{-1} = 2^{4 \times (-1)} = 2^{-4} = \dfrac{1}{16} $

Puissance d'un produit

Pour $ a $ et $ b $ non nuls et $ n $ entier relatif :

$ (a \times b)^{n} = a^{n} \times b^{n} $

Exemple

$ (2 \times 5)^{3} = 2^{3} \times 5^{3} = 8 \times 125 = 1\,000 $

$ 4^{3} \times 25^{3} = (4 \times 25)^{3} = 100^{3} = 1\,000\,000 $

Attention

Les règles du produit et du quotient ne s'appliquent que si les bases sont identiques. On ne peut pas simplifier $ 2^{3} \times 3^{4} $ avec ces règles.

5 - Écriture scientifique

Définition

L'écriture scientifique d'un nombre décimal positif est l'écriture de la forme :

$ a \times 10^{n} $

avec :

  • $ a $ un nombre décimal tel que $ 1 \leqslant a < 10 $ (un seul chiffre non nul avant la virgule) ;
  • $ n $ un entier relatif.

Exemple

  • $ 384\,400 = 3{,}844 \times 10^{5} $ (distance Terre-Lune en km).
  • $ 0{,}000\,028 = 2{,}8 \times 10^{-5} $ (diamètre d'un globule blanc en m).
  • $ 1\,785\,000\,000 = 1{,}785 \times 10^{9} $.

Méthode

Pour déterminer l'écriture scientifique d'un nombre :

  1. Placer la virgule juste après le premier chiffre non nul pour obtenir $ a $.
  2. Compter le nombre de positions dont la virgule a été déplacée.
  3. Si le nombre de départ est supérieur ou égal à $ 10 $, l'exposant $ n $ est positif. S'il est compris entre $ 0 $ et $ 1 $ (exclu), l'exposant $ n $ est négatif.

Passage inverse

Donner l'écriture décimale de $ 4{,}56 \times 10^{-3} $.

L'exposant est $ -3 $ : on déplace la virgule de $ 3 $ rangs vers la gauche.

$ 4{,}56 \times 10^{-3} = 0{,}004\,56 $

Remarque

Pour un nombre négatif, on applique la même méthode sur sa valeur absolue, puis on ajoute le signe $ - $.

$ -52\,000 = -5{,}2 \times 10^{4} $

6 - Préfixes et ordres de grandeur

Préfixes des puissances de 10

Les scientifiques utilisent des préfixes pour désigner les multiples et sous-multiples des unités de mesure.

Préfixe Symbole Puissance de 10 Valeur
giga G $ 10^{9} $ $ 1\,000\,000\,000 $
méga M $ 10^{6} $ $ 1\,000\,000 $
kilo k $ 10^{3} $ $ 1\,000 $
(unité) — $ 10^{0} $ $ 1 $
milli m $ 10^{-3} $ $ 0{,}001 $
micro μ $ 10^{-6} $ $ 0{,}000\,001 $
nano n $ 10^{-9} $ $ 0{,}000\,000\,001 $

Exemple

  • $ 2{,}4 $ GHz $ = 2{,}4 \times 10^{9} $ Hz (fréquence Wi-Fi).
  • $ 5 $ μm $ = 5 \times 10^{-6} $ m (taille d'un globule rouge).
  • $ 500 $ nm $ = 500 \times 10^{-9} $ m $ = 5 \times 10^{-7} $ m (longueur d'onde de la lumière verte).

Ordre de grandeur

L'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de $ 10 $ la plus proche de ce nombre.

Pour le déterminer, on écrit le nombre en écriture scientifique $ a \times 10^{n} $, puis :

  • si $ a < 5 $, l'ordre de grandeur est $ 10^{n} $ ;
  • si $ a \geqslant 5 $, l'ordre de grandeur est $ 10^{n+1} $.

Exemple

  • La distance Terre-Soleil est d'environ $ 1{,}5 \times 10^{8} $ km. Comme $ 1{,}5 < 5 $, l'ordre de grandeur est $ 10^{8} $ km.
  • La population mondiale est d'environ $ 8{,}1 \times 10^{9} $ habitants. Comme $ 8{,}1 \geqslant 5 $, l'ordre de grandeur est $ 10^{10} $ habitants.

7 - Racine carrée

Définition

Soit $ a $ un nombre positif. La racine carrée de $ a $ est le nombre positif dont le carré vaut $ a $. On le note $ \sqrt{a} $.

$ \sqrt{a} $ est le nombre positif tel que $ \left(\sqrt{a}\right)^{2} = a $

Exemple

  • $ \sqrt{9} = 3 $ car $ 3^{2} = 9 $.
  • $ \sqrt{25} = 5 $ car $ 5^{2} = 25 $.
  • $ \sqrt{0} = 0 $ et $ \sqrt{1} = 1 $.

Attention

La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas. Par exemple, $ \sqrt{-4} $ n'a pas de sens car aucun nombre au carré ne donne un résultat négatif.

Carrés parfaits

Un carré parfait est le carré d'un nombre entier. Il est utile de connaître les carrés parfaits de $ 1 $ à $ 144 $ :

$ n $ $ 1 $ $ 2 $ $ 3 $ $ 4 $ $ 5 $ $ 6 $ $ 7 $ $ 8 $ $ 9 $ $ 10 $ $ 11 $ $ 12 $
$ n^{2} $ $ 1 $ $ 4 $ $ 9 $ $ 16 $ $ 25 $ $ 36 $ $ 49 $ $ 64 $ $ 81 $ $ 100 $ $ 121 $ $ 144 $

Exemple

D'après le tableau : $ \sqrt{49} = 7 $, $ \sqrt{121} = 11 $, $ \sqrt{144} = 12 $.

Encadrement d'une racine carrée

Lorsque $ a $ n'est pas un carré parfait, $ \sqrt{a} $ n'est pas un nombre entier. On peut l'encadrer entre deux entiers consécutifs en cherchant les deux carrés parfaits qui encadrent $ a $.

Si $ n^{2} \leqslant a < (n+1)^{2} $, alors $ n \leqslant \sqrt{a} < n+1 $.

Exemple

Encadrer $ \sqrt{50} $ par deux entiers consécutifs.

On cherche deux carrés parfaits consécutifs qui encadrent $ 50 $ :

$ 49 < 50 < 64 $, c'est-à-dire $ 7^{2} < 50 < 8^{2} $.

D'où : $ 7 < \sqrt{50} < 8 $.

Encadrement plus précis

On peut affiner l'encadrement de $ \sqrt{50} $ à l'aide de la calculatrice :

$ 7{,}07^{2} = 49{,}9849 $ et $ 7{,}08^{2} = 50{,}1264 $

Donc $ 7{,}07 < \sqrt{50} < 7{,}08 $.

Remarque

La racine carrée est l'opération inverse de l'élévation au carré :

  • $ \sqrt{a^{2}} = a $ pour tout nombre $ a $ positif.
  • $ \left(\sqrt{a}\right)^{2} = a $ pour tout nombre $ a $ positif.

Les questions essentielles

1. Comment calculer la puissance d'un nombre ?

On multiplie la base par elle-même autant de fois que l'indique l'exposant. Pour un exposant négatif, on calcule d'abord la puissance positive correspondante, puis on prend l'inverse. Il faut faire attention à la place des parenthèses : $ (-2)^{4} = 16 $ mais $ -2^{4} = -16 $.

Voir la fiche méthode : Calculer la puissance d'un nombre

2. Comment appliquer les règles de calcul sur les puissances ?

On identifie d'abord si les bases sont identiques, puis on choisit la règle adaptée : produit (on additionne les exposants), quotient (on soustrait), puissance de puissance (on multiplie). Ces règles ne s'appliquent que sur des bases identiques.

Voir la fiche méthode : Appliquer les règles de calcul sur les puissances

3. Comment écrire un nombre en écriture scientifique ?

On place la virgule après le premier chiffre non nul pour obtenir un nombre entre $ 1 $ et $ 10 $, on compte le nombre de positions déplacées, et on détermine le signe de l'exposant : positif si le nombre d'origine est grand ($ \geqslant 10 $), négatif s'il est petit ($ < 1 $).

Voir la fiche méthode : Écrire un nombre en écriture scientifique

4. Comment déterminer un ordre de grandeur ?

On écrit le nombre en écriture scientifique $ a \times 10^{n} $. Si $ a < 5 $, l'ordre de grandeur est $ 10^{n} $ ; si $ a \geqslant 5 $, c'est $ 10^{n+1} $. L'ordre de grandeur permet de comparer rapidement des grandeurs très différentes.

Voir la fiche méthode : Déterminer un ordre de grandeur

5. Comment utiliser la racine carrée ?

La racine carrée de $ a $ est le nombre positif dont le carré vaut $ a $. On connaît par coeur les racines des carrés parfaits (de $ 1 $ à $ 144 $) et on encadre les autres entre deux entiers consécutifs en trouvant les deux carrés parfaits qui encadrent le nombre.

Voir la fiche méthode : Utiliser la racine carrée

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