Calculer la puissance d’un nombre
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Pour $ a $ relatif non nul et $ n $ entier positif :
- $ a^{n} = \underbrace{a \times a \times \ldots \times a}_{n \text{ facteurs}} $
- $ a^{0} = 1 $ et $ a^{1} = a $
- $ a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}} $
Méthode
Pour calculer la puissance d'un nombre :
- Identifier la base (attention aux parenthèses) et l'exposant.
- Si l'exposant est positif : multiplier la base par elle-même le nombre de fois indiqué.
- Si l'exposant est négatif : calculer d'abord la puissance positive correspondante, puis prendre l'inverse.
- Déterminer le signe : si la base est négative, le résultat est positif pour un exposant pair, négatif pour un exposant impair.
Exposant positif
Calculer $ A = (-5)^{3} $.
Étape 1 : La base est $ -5 $ (entre parenthèses) et l'exposant est $ 3 $.
Étape 2 : On multiplie trois fois :
$ A = (-5) \times (-5) \times (-5) $
$ A = 25 \times (-5) = -125 $
Étape 3 : L'exposant $ 3 $ est impair et la base est négative, le résultat est bien négatif.
Exposant négatif
Donner l'écriture fractionnaire de $ B = 3^{-4} $.
Étape 1 : La base est $ 3 $ et l'exposant est $ -4 $.
Étape 2 : On calcule d'abord $ 3^{4} $ :
$ 3^{4} = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81 $
Puis on prend l'inverse :
$ B = \dfrac{1}{3^{4}} = \dfrac{1}{81} $
Avec priorités opératoires
Calculer $ C = (-2)^{4} + 150 \times 3^{2} - 6 $.
On commence par les puissances (prioritaires) :
$ (-2)^{4} = 16 $ et $ 3^{2} = 9 $
Puis la multiplication :
$ 150 \times 9 = 1\,350 $
Enfin les additions et soustractions :
$ C = 16 + 1\,350 - 6 = 1\,360 $
Attention
Ne pas confondre $ (-a)^{n} $ et $ -a^{n} $ :
- $ (-3)^{2} = (-3) \times (-3) = 9 $ : toute la base est élevée au carré.
- $ -3^{2} = -(3 \times 3) = -9 $ : seul $ 3 $ est élevé au carré, puis le signe $ - $ est appliqué.
De même : $ (-2)^{4} = 16 $ mais $ -2^{4} = -16 $.