Appliquer les règles de calcul sur les puissances
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Créer un compteRappel des 4 règles
Pour $ a $ et $ b $ non nuls, $ n $ et $ m $ entiers relatifs :
- Produit de même base : $ a^{n} \times a^{m} = a^{n+m} $
- Quotient de même base : $ \dfrac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n-m} $
- Puissance de puissance : $ \left(a^{n}\right)^{m} = a^{n \times m} $
- Puissance d'un produit : $ (a \times b)^{n} = a^{n} \times b^{n} $
Méthode
Pour simplifier une expression contenant des puissances :
- Repérer les bases identiques dans l'expression.
- Choisir la règle adaptée à la situation (produit, quotient, puissance de puissance, puissance d'un produit).
- Calculer le nouvel exposant en appliquant la règle.
- Simplifier le résultat si possible (écriture décimale, fractionnaire…).
Produit de puissances de même base
Simplifier $ A = 5^{3} \times 5^{-7} $.
Étape 1 : La base est la même ($ 5 $).
Étape 2 : C'est un produit, on applique la règle $ a^{n} \times a^{m} = a^{n+m} $.
Étape 3 : $ A = 5^{3+(-7)} = 5^{-4} $
Étape 4 : $ A = \dfrac{1}{5^{4}} = \dfrac{1}{625} $
Quotient de puissances
Simplifier $ B = \dfrac{2^{5}}{2^{-3}} $.
Étape 1 : La base est la même ($ 2 $).
Étape 2 : C'est un quotient, on applique $ \dfrac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n-m} $.
Étape 3 : $ B = 2^{5-(-3)} = 2^{5+3} = 2^{8} $
Étape 4 : $ B = 256 $
Puissance d'une puissance
Simplifier $ C = \left(10^{3}\right)^{-2} $.
On applique $ \left(a^{n}\right)^{m} = a^{n \times m} $ :
$ C = 10^{3 \times (-2)} = 10^{-6} = 0{,}000\,001 $
Puissance d'un produit
Simplifier $ D = 4^{3} \times 25^{3} $.
Les exposants sont identiques ($ 3 $). On applique $ a^{n} \times b^{n} = (a \times b)^{n} $ :
$ D = (4 \times 25)^{3} = 100^{3} = 1\,000\,000 $
Combinaison de plusieurs règles
Simplifier $ E = \dfrac{3^{4} \times 3^{-2}}{3^{5}} $.
Étape 1 : Au numérateur, les deux facteurs ont la même base $ 3 $. On applique la règle du produit :
$ 3^{4} \times 3^{-2} = 3^{4+(-2)} = 3^{2} $
Étape 2 : On simplifie le quotient :
$ E = \dfrac{3^{2}}{3^{5}} = 3^{2-5} = 3^{-3} $
Étape 3 : $ E = \dfrac{1}{3^{3}} = \dfrac{1}{27} $
Attention
- Les règles du produit et du quotient ne s'appliquent que si les bases sont identiques. On ne peut pas simplifier $ 2^{3} \times 3^{4} $ avec ces règles.
- Attention au signe de l'exposant dans un quotient : $ \dfrac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n-m} $ (soustraire $ m $, pas $ -m $).