Utiliser la racine carrée
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Soit $ a $ un nombre positif. La racine carrée de $ a $ est le nombre positif dont le carré vaut $ a $. On le note $ \sqrt{a} $.
Carrés parfaits à connaître
Un carré parfait est le carré d'un nombre entier. Voici les carrés parfaits de $ 1 $ à $ 144 $ :
| $ n $ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ 3 $ | $ 4 $ | $ 5 $ | $ 6 $ | $ 7 $ | $ 8 $ | $ 9 $ | $ 10 $ | $ 11 $ | $ 12 $ |
| $ n^{2} $ | $ 1 $ | $ 4 $ | $ 9 $ | $ 16 $ | $ 25 $ | $ 36 $ | $ 49 $ | $ 64 $ | $ 81 $ | $ 100 $ | $ 121 $ | $ 144 $ |
Méthode pour calculer une racine carrée
- Vérifier que le nombre est positif (la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas).
- Chercher si le nombre est un carré parfait (lire le tableau dans le sens inverse : $ \sqrt{49} = 7 $).
- Si ce n'est pas un carré parfait, encadrer le nombre entre deux carrés parfaits consécutifs pour trouver un encadrement de la racine.
- Pour une valeur plus précise, utiliser la calculatrice (touche $ \sqrt{\phantom{x}} $).
Racine d'un carré parfait
Calculer $ \sqrt{81} $.
On cherche quel nombre au carré donne $ 81 $.
D'après le tableau : $ 9^{2} = 81 $.
$ \sqrt{81} = 9 $
Encadrement entre deux entiers
Encadrer $ \sqrt{50} $ par deux entiers consécutifs.
On cherche les deux carrés parfaits qui encadrent $ 50 $ :
$ 49 < 50 < 64 $, c'est-à-dire $ 7^{2} < 50 < 8^{2} $.
On en déduit : $ 7 < \sqrt{50} < 8 $.
Encadrement plus précis
Encadrer $ \sqrt{50} $ au dixième.
On sait déjà que $ 7 < \sqrt{50} < 8 $. On teste des valeurs au dixième :
$ 7{,}0^{2} = 49 $ et $ 7{,}1^{2} = 50{,}41 $
Comme $ 49 < 50 < 50{,}41 $, on a $ 7{,}0 < \sqrt{50} < 7{,}1 $.
On peut affiner : $ 7{,}07^{2} = 49{,}9849 $ et $ 7{,}08^{2} = 50{,}1264 $.
Donc $ 7{,}07 < \sqrt{50} < 7{,}08 $.
Application : vérifier si un nombre est un carré parfait
Le nombre $ 196 $ est-il un carré parfait ?
On cherche $ \sqrt{196} $ à la calculatrice : $ \sqrt{196} = 14 $.
On vérifie : $ 14^{2} = 196 $. Oui, $ 196 $ est un carré parfait.
Remarque
Deux propriétés utiles de la racine carrée :
- Pour tout nombre $ a $ positif : $ \sqrt{a^{2}} = a $.
- La racine carrée est l'opération inverse de l'élévation au carré : si $ x^{2} = a $ avec $ x \geqslant 0 $, alors $ x = \sqrt{a} $.
Attention
- La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas. Par exemple, $ \sqrt{-9} $ n'a pas de sens.
- Ne pas confondre $ \sqrt{9} = 3 $ (la racine carrée est toujours positive) avec les solutions de $ x^{2} = 9 $ qui sont $ x = 3 $ ou $ x = -3 $.
- Ne pas confondre $ \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $ avec $ \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7 $. En général, $ \sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b} $.