Théorème de Pythagore
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1. Triangle rectangle et hypoténuse
Triangle rectangle et hypoténuse
Un triangle est rectangle lorsque l'un de ses angles est un angle droit ($90^{\circ}$).
Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse. C'est le plus grand côté du triangle rectangle.
Exemple
Le triangle $ABC$ ci-dessus est rectangle en $A$. L'angle droit est en $A$, donc le côté opposé à $A$ est $[BC]$ : c'est l'hypoténuse du triangle $ABC$.
Les côtés $[AB]$ et $[AC]$ sont les côtés de l'angle droit.
2. Théorème de Pythagore
Théorème de Pythagore
Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux côtés de l'angle droit.
Si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, alors :
Remarque
Pour trouver une longueur à partir de son carré, on utilise la racine carrée : si $x^2 = a$ avec $a \geqslant 0$, alors $x = \sqrt{a}$.
Calculer la longueur de l'hypoténuse
Le triangle $IJK$ est rectangle en $I$ tel que $IJ = 3$ cm et $IK = 4$ cm. Calculer $JK$.
Le triangle $IJK$ est rectangle en $I$, donc $[JK]$ est l'hypoténuse.
D'après le théorème de Pythagore :
$JK^2 = IJ^2 + IK^2$
$JK^2 = 3^2 + 4^2$
$JK^2 = 9 + 16$
$JK^2 = 25$
$JK = \sqrt{25} = 5$ cm
Calculer la longueur d'un côté de l'angle droit
Le triangle $GAM$ est rectangle en $G$ tel que $AM = 13$ cm et $AG = 5$ cm. Calculer $GM$.
Le triangle $GAM$ est rectangle en $G$, donc $[AM]$ est l'hypoténuse.
D'après le théorème de Pythagore :
$AM^2 = AG^2 + GM^2$
$13^2 = 5^2 + GM^2$
$169 = 25 + GM^2$
$GM^2 = 169 - 25$
$GM^2 = 144$
$GM = \sqrt{144} = 12$ cm
Problème concret
Un terrain de sport rectangulaire mesure $12$ m de long et $5$ m de large. Calculer la longueur de sa diagonale.
Le rectangle $ABCD$ a un angle droit en $B$, donc le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
D'après le théorème de Pythagore :
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = 12^2 + 5^2$
$AC^2 = 144 + 25$
$AC^2 = 169$
$AC = \sqrt{169} = 13$ m
La diagonale du terrain mesure $13$ m.
Attention
- L'hypoténuse est toujours seule dans un membre de l'égalité de Pythagore.
- Si on cherche l'hypoténuse, on additionne les carrés des deux autres côtés.
- Si on cherche un côté de l'angle droit, on soustrait le carré du côté connu au carré de l'hypoténuse.
- Ne pas oublier d'extraire la racine carrée à la fin pour obtenir la longueur.
3. Réciproque du théorème de Pythagore
Réciproque du théorème de Pythagore
Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle et l'angle droit est opposé au plus grand côté.
Remarque
La réciproque sert à démontrer qu'un triangle est rectangle lorsqu'on connaît les longueurs de ses trois côtés.
Exemple
Soit un triangle $MET$ tel que $ME = 16$ cm, $ET = 12$ cm et $MT = 20$ cm. Le triangle $MET$ est-il rectangle ?
Le plus grand côté est $[MT]$ avec $MT = 20$ cm.
On calcule séparément :
$MT^2 = 20^2 = 400$
$ME^2 + ET^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400$
On constate que $MT^2 = ME^2 + ET^2$.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $MET$ est rectangle en $E$.
4. Contraposée du théorème de Pythagore
Contraposée du théorème de Pythagore
Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle n'est pas rectangle.
Exemple
Soit un triangle $RST$ tel que $RS = 7$ cm, $ST = 5$ cm et $RT = 8$ cm. Le triangle $RST$ est-il rectangle ?
Le plus grand côté est $[RT]$ avec $RT = 8$ cm.
On calcule séparément :
$RT^2 = 8^2 = 64$
$RS^2 + ST^2 = 7^2 + 5^2 = 49 + 25 = 74$
On constate que $RT^2 \neq RS^2 + ST^2$ (car $64 \neq 74$).
D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $RST$ n'est pas rectangle.
Les questions essentielles
1. Comment calculer l'hypoténuse d'un triangle rectangle ?
On applique le théorème de Pythagore : le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés de l'angle droit. On additionne les deux carrés, puis on extrait la racine carrée.
Voir la fiche méthode : Calculer l'hypoténuse d'un triangle rectangle
2. Comment calculer un côté de l'angle droit ?
On utilise le théorème de Pythagore en isolant le côté cherché : on soustrait le carré du côté connu au carré de l'hypoténuse, puis on extrait la racine carrée.
Voir la fiche méthode : Calculer un côté de l'angle droit
3. Comment démontrer qu'un triangle est rectangle ?
On utilise la réciproque du théorème de Pythagore : on compare le carré du plus grand côté avec la somme des carrés des deux autres. S'ils sont égaux, le triangle est rectangle.
Voir la fiche méthode : Démontrer qu'un triangle est rectangle
4. Comment démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle ?
On utilise la contraposée du théorème de Pythagore : on compare le carré du plus grand côté avec la somme des carrés des deux autres. S'ils sont différents, le triangle n'est pas rectangle.
Voir la fiche méthode : Démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle