Calculer l’hypoténuse avec le cosinus
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On cherche la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle, connaissant le côté adjacent à un angle aigu et la mesure de cet angle.
Méthode
Étape 1 : Identifier le triangle rectangle et l'angle aigu donné.
Étape 2 : Repérer le côté adjacent à cet angle et l'hypoténuse (le côté cherché).
Étape 3 : Écrire la formule du cosinus : $\cos(\text{angle}) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$.
Étape 4 : Isoler l'hypoténuse : hypoténuse $= \dfrac{\text{côté adjacent}}{\cos(\text{angle})}$.
Étape 5 : Calculer à la calculatrice (en mode degrés).
Exemple
Le triangle $KLM$ est rectangle en $L$ tel que $KL = 5$ cm et $\widehat{LKM} = 48^{\circ}$. Calculer $KM$.
Étape 1 : Le triangle $KLM$ est rectangle en $L$.
Étape 2 : Le côté adjacent à $\widehat{LKM}$ est $[KL]$ ($5$ cm). L'hypoténuse est $[KM]$.
Étape 3 : $\cos(\widehat{LKM}) = \dfrac{KL}{KM}$
Étape 4 : $KM = \dfrac{KL}{\cos(48^{\circ})} = \dfrac{5}{\cos(48^{\circ})}$
Étape 5 : $KM \approx \dfrac{5}{0{,}669} \approx 7{,}5$ cm
Problème concret
Une rampe d'accès fait un angle de $30^{\circ}$ avec le sol horizontal. La distance horizontale entre le bas et le haut de la rampe est de $6$ m. Calculer la longueur de la rampe.
Étape 1 : La rampe, le sol et le mur forment un triangle rectangle.
Étape 2 : La distance horizontale ($6$ m) est le côté adjacent à l'angle de $30^{\circ}$. La rampe est l'hypoténuse.
Étape 3 : $\cos(30^{\circ}) = \dfrac{6}{\text{rampe}}$
Étape 4 : $\text{rampe} = \dfrac{6}{\cos(30^{\circ})}$
Étape 5 : $\text{rampe} \approx \dfrac{6}{0{,}866} \approx 6{,}9$ m
La rampe mesure environ $6{,}9$ m.
Attention
- La formule nécessite une division par le cosinus (et non une multiplication). L'hypoténuse est toujours plus grande que le côté adjacent.
- Vérifier que le résultat obtenu est bien supérieur au côté adjacent donné, sinon il y a une erreur.
- Ne pas oublier de vérifier le mode degrés sur la calculatrice.