Résoudre un problème concret avec le cosinus
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Dans un problème de la vie courante (échelle, pente, câble, angle de visée), on doit d'abord repérer le triangle rectangle, puis choisir la bonne formule.
Méthode
Étape 1 : Faire un schéma clair de la situation et repérer le triangle rectangle.
Étape 2 : Identifier les données : quels angles et quelles longueurs sont connus ?
Étape 3 : Déterminer ce que l'on cherche (une longueur ou un angle).
Étape 4 : Vérifier que les données concernent le côté adjacent et l'hypoténuse (sinon le cosinus ne convient pas directement).
Étape 5 : Appliquer la formule du cosinus et calculer.
Étape 6 : Rédiger la réponse avec l'unité et un arrondi adapté au contexte.
Vérifier une norme de sécurité
Une échelle de $6$ m est appuyée contre un mur. Son pied est à $2$ m du mur. Pour des raisons de sécurité, l'angle entre l'échelle et le sol doit être d'au moins $65^{\circ}$. L'échelle respecte-t-elle cette norme ?
Étape 1 : Le mur est perpendiculaire au sol : on a un triangle rectangle.
Étape 2 : L'échelle mesure $6$ m (hypoténuse), le pied est à $2$ m du mur (côté adjacent).
Étape 3 : On cherche l'angle entre l'échelle et le sol.
Étape 4 : On connaît le côté adjacent ($2$ m) et l'hypoténuse ($6$ m) : le cosinus convient.
Étape 5 : $\cos(\text{angle}) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333$
$\text{angle} = \cos^{-1}(0{,}333) \approx 71^{\circ}$
Étape 6 : L'angle est d'environ $71^{\circ}$. Or $71^{\circ} > 65^{\circ}$ : l'échelle respecte la norme de sécurité.
Distance horizontale parcourue
Un avion décolle avec un angle de montée de $15^{\circ}$ par rapport au sol. Après avoir parcouru $2$ km en ligne droite, quelle distance horizontale a-t-il parcourue ?
Étape 1 : La trajectoire, le sol et la verticale forment un triangle rectangle.
Étape 2 : La trajectoire de l'avion mesure $2$ km (hypoténuse), l'angle avec le sol est $15^{\circ}$.
Étape 3 : On cherche la distance horizontale (côté adjacent).
Étape 4 : On connaît l'hypoténuse et l'angle : le cosinus convient.
Étape 5 : $\cos(15^{\circ}) = \dfrac{d}{2}$
$d = 2 \times \cos(15^{\circ}) \approx 2 \times 0{,}966 \approx 1{,}9$ km
Étape 6 : L'avion a parcouru environ $1{,}9$ km de distance horizontale.
Attention
- Toujours vérifier que la situation forme bien un triangle rectangle (mur perpendiculaire au sol, altitude verticale, etc.).
- Si le problème donne la hauteur et l'hypoténuse (sans le côté adjacent), le cosinus n'est pas directement utilisable. Il faut d'abord calculer le côté adjacent par le théorème de Pythagore.
- Arrondir le résultat de manière cohérente avec le contexte : au mètre pour un bâtiment, au dixième de km pour un trajet.