Calculer le côté adjacent avec le cosinus
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On cherche la longueur du côté adjacent à un angle aigu dans un triangle rectangle, connaissant l'hypoténuse et la mesure de l'angle.
Méthode
Étape 1 : Identifier le triangle rectangle et l'angle aigu donné.
Étape 2 : Repérer le côté adjacent à cet angle et l'hypoténuse.
Étape 3 : Écrire la formule du cosinus : $\cos(\text{angle}) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$.
Étape 4 : Isoler le côté adjacent : côté adjacent $= \text{hypoténuse} \times \cos(\text{angle})$.
Étape 5 : Calculer à la calculatrice (en mode degrés).
Exemple
Le triangle $PQR$ est rectangle en $Q$ tel que $PR = 10$ cm et $\widehat{QPR} = 52^{\circ}$. Calculer $PQ$.
Étape 1 : Le triangle $PQR$ est rectangle en $Q$.
Étape 2 : L'hypoténuse est $[PR]$ ($10$ cm). Le côté adjacent à $\widehat{QPR}$ est $[PQ]$.
Étape 3 : $\cos(\widehat{QPR}) = \dfrac{PQ}{PR}$
Étape 4 : $PQ = PR \times \cos(52^{\circ}) = 10 \times \cos(52^{\circ})$
Étape 5 : $PQ \approx 10 \times 0{,}616 \approx 6{,}2$ cm
Problème concret
Un câble de $8$ m relie le sommet d'un poteau au sol. Il forme un angle de $55^{\circ}$ avec le sol. Calculer la distance entre le pied du câble et le poteau.
Étape 1 : Le poteau est perpendiculaire au sol : on a un triangle rectangle.
Étape 2 : Le câble est l'hypoténuse ($8$ m). La distance cherchée est le côté adjacent à l'angle de $55^{\circ}$.
Étape 3 : $\cos(55^{\circ}) = \dfrac{d}{8}$
Étape 4 : $d = 8 \times \cos(55^{\circ})$
Étape 5 : $d \approx 8 \times 0{,}574 \approx 4{,}6$ m
Le pied du câble est à environ $4{,}6$ m du poteau.
Attention
- Bien repérer le côté adjacent par rapport à l'angle donné (le côté de l'angle droit qui touche l'angle aigu).
- La formule côté adjacent $= \text{hypoténuse} \times \cos(\text{angle})$ donne toujours un résultat plus petit que l'hypoténuse.
- Ne pas confondre avec le théorème de Pythagore : le cosinus nécessite de connaître un angle et une longueur.