Calcul littéral
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1 - Expressions littérales
Définition
Une expression littérale est une expression mathématique qui contient une ou plusieurs lettres. Ces lettres désignent des nombres.
Exemple
Le périmètre $ P $ d'un rectangle de longueur $ L $ et de largeur $ \ell $ est donné par l'expression littérale :
Conventions d'écriture
Dans une expression littérale, on peut supprimer le signe $ \times $ lorsqu'il est placé :
- devant ou derrière une lettre ;
- devant ou derrière une parenthèse.
Exemple
- $ 4 \times a = 4a $
- $ a \times 4 = 4a $ (on place le nombre devant la lettre)
- $ b \times c = bc $
- $ 5 \times (x + 4) = 5(x + 4) $
Attention
On ne peut pas supprimer le signe $ \times $ entre deux nombres : $ 4 \times 5 \neq 45 $.
Cas particuliers
Pour tout nombre $ a $ :
- $ 1 \times a = a $ (on n'écrit pas $ 1a $ mais $ a $)
- $ 0 \times a = 0 $
- $ a \times a = a^{2} $ (se lit « $ a $ au carré »)
- $ a \times a \times a = a^{3} $ (se lit « $ a $ au cube »)
Exemple
- $ 5 \times 5 = 5^{2} = 25 $
- $ (-6) \times (-6) = (-6)^{2} = 36 $
- $ 7 \times 7 \times 7 = 7^{3} = 343 $
Remarque
Pour simplifier un produit de plusieurs facteurs, on peut modifier l'ordre des facteurs (la multiplication est commutative).
Exemple
Réduire $ H = 2 \times b \times 7 $.
$ H = 2 \times b \times 7 $
$ H = 2 \times 7 \times b $
$ H = 14 \times b $
$ H = 14b $
2 - Structure d'une expression
Définition
- Une somme (ou différence) est une expression dont la dernière opération effectuée est une addition ou une soustraction. Chaque élément séparé par un $ + $ ou un $ - $ s'appelle un terme.
- Un produit est une expression dont la dernière opération effectuée est une multiplication. Chaque élément multiplié s'appelle un facteur.
Exemple
- $ 3x + 7 $ est une somme de deux termes : $ 3x $ et $ 7 $.
- $ 5(x - 2) $ est un produit de deux facteurs : $ 5 $ et $ (x - 2) $.
- $ 2x + 3y - 4 $ est une somme de trois termes : $ 2x $, $ 3y $ et $ -4 $.
Attention
Bien distinguer termes et facteurs est essentiel pour la suite du chapitre :
- Développer, c'est transformer un produit en somme.
- Factoriser, c'est transformer une somme en produit.
3 - Réduire une expression
Définition
Réduire une expression littérale, c'est regrouper les termes semblables (les termes qui ont la même partie littérale) pour obtenir une écriture plus courte.
Exemple
Réduire les expressions suivantes :
$ A = 3x + 5x - 2x $
$ A = (3 + 5 - 2)x $
$ A = 6x $
$ B = 4x^{2} - 3x + x^{2} + 7x $
$ B = 4x^{2} + x^{2} - 3x + 7x $
$ B = 5x^{2} + 4x $
Attention
On ne peut regrouper que les termes qui ont exactement la même partie littérale. On ne peut pas additionner des termes en $ x $ avec des termes en $ x^{2} $.
Exemple
$ C = 3x^{2} + 2x - x^{2} + 5 - 4x + 1 $
$ C = 3x^{2} - x^{2} + 2x - 4x + 5 + 1 $
$ C = 2x^{2} - 2x + 6 $
4 - Développer avec la distributivité
Définition
Développer un produit, c'est le transformer en somme (ou en différence).
Distributivité simple
Pour tous nombres relatifs $ k $, $ a $ et $ b $ :
Le facteur $ k $ est « distribué » à chacun des termes de la parenthèse.
Exemple
Développer $ A = 7(4 + x) $ :
$ A = 7 \times 4 + 7 \times x $
$ A = 28 + 7x $
Exemple
Développer $ B = 3(x - 4) $ :
$ B = 3 \times x - 3 \times 4 $
$ B = 3x - 12 $
Développer et réduire
Développer et réduire $ C = 5(2x + 3) - 4x $ :
$ C = 5 \times 2x + 5 \times 3 - 4x $
$ C = 10x + 15 - 4x $
$ C = 6x + 15 $
Attention
Quand un signe $ - $ précède une parenthèse, on distribue le facteur $ -1 $ à chaque terme :
$ -(a + b) = -a - b $
$ -(a - b) = -a + b $
Exemple
Développer et réduire $ D = 3(x + 2) - (x - 5) $ :
$ D = 3x + 6 - x + 5 $
$ D = 2x + 11 $
Avec un facteur littéral
Développer $ E = x(x - 4) $ :
$ E = x \times x - x \times 4 $
$ E = x^{2} - 4x $
5 - Factoriser une expression
Définition
Factoriser une expression, c'est la transformer en produit en identifiant un facteur commun.
Factorisation par un facteur commun
Pour tous nombres relatifs $ k $, $ a $ et $ b $ :
Exemple
Factoriser $ F = 3x + 6 $ :
On identifie le facteur commun : $ 3 $ est commun à $ 3x $ et $ 6 $ car $ 6 = 3 \times 2 $.
$ F = 3 \times x + 3 \times 2 $
$ F = 3(x + 2) $
Exemple
Factoriser $ G = 7x - 2x $ :
Le facteur commun est $ x $.
$ G = 7 \times x - 2 \times x $
$ G = (7 - 2) \times x $
$ G = 5x $
En factorisant $ 7x - 2x $, on a réduit l'expression : factoriser revient ici à réduire des termes semblables.
Exemple
Factoriser $ H = 5x^{2} - 10x $ :
On cherche le facteur commun le plus complet possible. Ici, $ 5x $ convient car $ 5x^{2} = 5x \times x $ et $ 10x = 5x \times 2 $.
$ H = 5x \times x - 5x \times 2 $
$ H = 5x(x - 2) $
6 - Valeur numérique d'une expression
Définition
Calculer la valeur numérique d'une expression littérale, c'est remplacer chaque lettre par un nombre donné, puis effectuer le calcul.
Exemple
Calculer la valeur de $ A = 3x^{2} - 5x + 2 $ pour $ x = 4 $.
$ A = 3 \times 4^{2} - 5 \times 4 + 2 $
$ A = 3 \times 16 - 20 + 2 $
$ A = 48 - 20 + 2 $
$ A = 30 $
Exemple
Montrer que les expressions $ B = 2(x + 3) $ et $ C = 2x + 6 $ sont égales pour tout nombre $ x $.
On développe $ B $ :
$ B = 2 \times x + 2 \times 3 = 2x + 6 $
On retrouve l'expression $ C $, donc $ B = C $ pour tout nombre $ x $.
Remarque
Tester l'égalité avec quelques valeurs particulières ne suffit pas à prouver qu'elle est vraie pour tout nombre. Il faut utiliser le calcul littéral (développer ou factoriser) pour le démontrer.
7 - Programmes de calcul
Définition
Un programme de calcul est une suite d'instructions qui, à partir d'un nombre de départ, produit un résultat. On peut le traduire par une expression littérale en notant $ x $ le nombre de départ.
Exemple
Traduire le programme de calcul suivant par une expression littérale :
| Choisir un nombre. |
| Multiplier par 4. |
| Ajouter 7. |
On note $ x $ le nombre choisi au départ.
- On multiplie par $ 4 $ : on obtient $ 4x $.
- On ajoute $ 7 $ : on obtient $ 4x + 7 $.
Le programme de calcul se traduit par l'expression $ 4x + 7 $.
Démontrer l'équivalence de deux programmes
On considère les deux programmes de calcul suivants :
| Programme 1 | Programme 2 |
| Choisir un nombre. | Choisir un nombre. |
| Ajouter 7. | Multiplier par 8. |
| Multiplier par 8. | Ajouter 56. |
Montrer qu'ils donnent toujours le même résultat.
On note $ x $ le nombre de départ.
Programme 1 :
On ajoute $ 7 $ : on obtient $ x + 7 $.
On multiplie par $ 8 $ : on obtient $ 8(x + 7) $.
On développe : $ 8(x + 7) = 8x + 56 $.
Programme 2 :
On multiplie par $ 8 $ : on obtient $ 8x $.
On ajoute $ 56 $ : on obtient $ 8x + 56 $.
Les deux programmes donnent la même expression $ 8x + 56 $. Ils produisent donc toujours le même résultat, quel que soit le nombre de départ.
Les questions essentielles
1. Comment développer une expression avec la distributivité ?
Pour développer $ k(a + b) $, on multiplie le facteur $ k $ par chacun des termes de la parenthèse : $ k(a + b) = ka + kb $. Puis on réduit l'expression si possible.
Voir la fiche méthode : Développer une expression avec la distributivité
2. Comment factoriser une expression ?
On identifie un facteur commun à tous les termes, puis on applique la distributivité « à l'envers » : $ ka + kb = k(a + b) $. On cherche le facteur commun le plus complet possible.
Voir la fiche méthode : Factoriser une expression
3. Comment réduire une expression littérale ?
On regroupe les termes qui ont la même partie littérale. On ne peut pas additionner des termes en $ x $ avec des termes en $ x^{2} $, ni des termes en $ x $ avec des nombres seuls.
Voir la fiche méthode : Réduire une expression littérale
4. Comment calculer la valeur numérique d'une expression ?
On remplace chaque lettre par le nombre donné en respectant les priorités opératoires, puis on effectue le calcul.
Voir la fiche méthode : Calculer la valeur numérique d'une expression
5. Comment démontrer que deux programmes de calcul sont équivalents ?
On traduit chaque programme en expression littérale, on développe ou on factorise, et on montre que les deux expressions obtenues sont identiques.
Voir la fiche méthode : Démontrer l'équivalence de deux programmes de calcul