Démontrer l’équivalence de deux programmes de calcul
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Rappel
Un programme de calcul est une suite d'instructions appliquées à un nombre de départ. En notant $ x $ ce nombre, on peut traduire chaque programme par une expression littérale.
Méthode
Pour démontrer que deux programmes de calcul sont équivalents :
- Traduire chaque programme en expression littérale en notant $ x $ le nombre de départ.
- Développer ou réduire chaque expression pour la simplifier.
- Comparer les expressions obtenues : si elles sont identiques, les programmes donnent toujours le même résultat.
Programmes équivalents
On considère les deux programmes suivants :
| Programme 1 | Programme 2 |
| Choisir un nombre. | Choisir un nombre. |
| Ajouter 5. | Multiplier par 2. |
| Multiplier par 2. | Ajouter 10. |
Étape 1 : On note $ x $ le nombre de départ.
Programme 1 : on ajoute $ 5 $ (on obtient $ x + 5 $), puis on multiplie par $ 2 $ : on obtient $ 2(x + 5) $.
Programme 2 : on multiplie par $ 2 $ (on obtient $ 2x $), puis on ajoute $ 10 $ : on obtient $ 2x + 10 $.
Étape 2 : On développe l'expression du programme 1 :
$ 2(x + 5) = 2x + 10 $
Étape 3 : Les deux expressions sont identiques ($ 2x + 10 $), donc les programmes donnent toujours le même résultat.
Résultat constant
Montrer que le programme suivant donne toujours le même résultat :
| Choisir un nombre. |
| Ajouter 3. |
| Multiplier par 3. |
| Soustraire le triple du nombre de départ. |
Étape 1 : On note $ x $ le nombre de départ et on traduit :
- On ajoute $ 3 $ : on obtient $ x + 3 $.
- On multiplie par $ 3 $ : on obtient $ 3(x + 3) $.
- On soustrait le triple du nombre de départ : on obtient $ 3(x + 3) - 3x $.
Étape 2 : On développe et on réduit :
$ 3(x + 3) - 3x = 3x + 9 - 3x = 9 $
Étape 3 : Le résultat est toujours $ 9 $, quel que soit le nombre de départ.
Attention
Erreurs fréquentes à éviter :
- Tester avec quelques valeurs ne constitue pas une démonstration : cela ne prouve pas que l'égalité est vraie pour tous les nombres.
- Bien respecter l'ordre des opérations : « ajouter 5 puis multiplier par 2 » donne $ 2(x + 5) $, et non $ 2x + 5 $.
- Ne pas oublier les parenthèses quand on multiplie un résultat intermédiaire qui est une somme.