Factoriser une expression
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Pour tous nombres relatifs $ k $, $ a $ et $ b $ :
$ ka + kb = k(a + b) $
$ ka - kb = k(a - b) $
Factoriser, c'est transformer une somme en produit.
Méthode
Pour factoriser une expression :
- Identifier le facteur commun le plus complet possible (nombre, lettre, ou les deux).
- Réécrire chaque terme comme un produit faisant apparaître ce facteur commun.
- Appliquer la distributivité à l'envers pour mettre le facteur commun devant la parenthèse.
Facteur commun numérique
Factoriser $ A = 6x + 15 $.
Étape 1 : On cherche le facteur commun. Ici $ 3 $ divise $ 6 $ et $ 15 $.
Étape 2 : On réécrit chaque terme :
$ A = 3 \times 2x + 3 \times 5 $
Étape 3 : On factorise :
$ A = 3(2x + 5) $
Facteur commun littéral
Factoriser $ B = x^{2} + 3x $.
Étape 1 : Le facteur commun est $ x $ car $ x^{2} = x \times x $ et $ 3x = 3 \times x $.
Étape 2 : On réécrit chaque terme :
$ B = x \times x + x \times 3 $
Étape 3 : On factorise :
$ B = x(x + 3) $
Facteur commun complet
Factoriser $ C = 12x^{2} - 8x $.
Étape 1 : Le facteur commun le plus complet est $ 4x $ car $ 12x^{2} = 4x \times 3x $ et $ 8x = 4x \times 2 $.
Étape 2 : On réécrit chaque terme :
$ C = 4x \times 3x - 4x \times 2 $
Étape 3 : On factorise :
$ C = 4x(3x - 2) $
Attention
Erreurs fréquentes à éviter :
- Ne pas prendre le facteur commun le plus complet : $ 12x^{2} - 8x = 2(6x^{2} - 4x) $ est correct mais incomplet ; la meilleure factorisation est $ 4x(3x - 2) $.
- Oublier un terme dans la parenthèse : vérifier en redéveloppant le résultat.
- Ne pas voir le facteur commun quand il est une lettre : dans $ x^{2} + 3x $, le facteur commun $ x $ est parfois oublié.