Fonction de répartition et coefficient de normalisation
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Une station de mesure analyse la concentration en pollen dans l'air au cours d'une journée. On modélise cette concentration, exprimée dans une unité adaptée, par une variable aléatoire $ X $ à valeurs dans l'intervalle $ [0\,;4] $.
On admet que $ X $ admet une densité de la forme $ f(x) = k\,x(4 - x) $ sur $ [0\,;4] $, où $ k $ est un réel à déterminer.
- Justifier que, pour tout réel $ k \geqslant 0 $, la fonction $ f $ est continue et positive sur $ [0\,;4] $.
- Déterminer la valeur de $ k $ pour que $ f $ soit une densité de probabilité sur $ [0\,;4] $.
On note $ F $ la fonction définie sur $ [0\,;4] $ par $ F(x) = P(X \leqslant x) $.
- Déterminer une expression de $ F(x) $ pour tout $ x \in [0\,;4] $.
- Vérifier que $ F(0) = 0 $ et $ F(4) = 1 $.
- En utilisant la fonction $ F $, calculer $ P(1 \leqslant X \leqslant 3) $.
Corrigé
La fonction $ f $ est un produit de fonctions polynômes, donc elle est continue sur $ [0\,;4] $.
Pour tout $ x \in [0\,;4] $, on a $ x \geqslant 0 $ et $ 4 - x \geqslant 0 $, donc le produit $ x(4 - x) \geqslant 0 $. Ainsi, dès que $ k \geqslant 0 $, on a $ f(x) = k\,x(4 - x) \geqslant 0 $ sur $ [0\,;4] $.
La fonction $ f $ est donc bien continue et positive sur $ [0\,;4] $.
Pour que $ f $ soit une densité de probabilité sur $ [0\,;4] $, il faut que son intégrale sur cet intervalle soit égale à $ 1 $.
On développe $ f(x) = k(4x - x^{2}) $. Une primitive de $ x \mapsto 4x - x^{2} $ est $ x \mapsto 2x^{2} - \dfrac{x^{3}}{3} $.
$ \displaystyle\int_{0}^{4} k(4x - x^{2})\,dx = k\left[2x^{2} - \dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{4} = k\left(2 \times 16 - \dfrac{64}{3}\right) = k\left(\dfrac{96}{3} - \dfrac{64}{3}\right) = \dfrac{32k}{3} $
On résout alors $ \dfrac{32k}{3} = 1 $, ce qui donne $ k = \dfrac{3}{32} $.
Cette valeur est positive, donc la fonction $ f $ définie par $ f(x) = \dfrac{3}{32}\,x(4 - x) $ est bien une densité de probabilité sur $ [0\,;4] $.
La valeur cherchée est $\mathbf{k = \dfrac{3}{32}}$.
Pour tout $ x \in [0\,;4] $, on a $ F(x) = P(X \leqslant x) = \displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\,dt $.
$ F(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} \dfrac{3}{32}(4t - t^{2})\,dt = \dfrac{3}{32}\left[2t^{2} - \dfrac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{x} = \dfrac{3}{32}\left(2x^{2} - \dfrac{x^{3}}{3}\right) $
En développant : $ F(x) = \dfrac{3}{32} \times 2x^{2} - \dfrac{3}{32} \times \dfrac{x^{3}}{3} = \dfrac{3x^{2}}{16} - \dfrac{x^{3}}{32} $.
On obtient donc, pour tout $ x \in [0\,;4] $ : $\mathbf{F(x) = \dfrac{3x^{2}}{16} - \dfrac{x^{3}}{32}}$.
On calcule les valeurs aux bornes de l'intervalle.
$ F(0) = \dfrac{3 \times 0}{16} - \dfrac{0}{32} = 0 $
$ F(4) = \dfrac{3 \times 16}{16} - \dfrac{64}{32} = 3 - 2 = 1 $
On retrouve bien $ F(0) = 0 $ et $ F(4) = 1 $, ce qui est cohérent : la probabilité d'observer une valeur inférieure à la borne inférieure est nulle, et celle d'observer une valeur de l'intervalle entier est certaine.
En utilisant la fonction de répartition, on a $ P(1 \leqslant X \leqslant 3) = F(3) - F(1) $.
$ F(3) = \dfrac{3 \times 9}{16} - \dfrac{27}{32} = \dfrac{27}{16} - \dfrac{27}{32} = \dfrac{54}{32} - \dfrac{27}{32} = \dfrac{27}{32} $
$ F(1) = \dfrac{3 \times 1}{16} - \dfrac{1}{32} = \dfrac{3}{16} - \dfrac{1}{32} = \dfrac{6}{32} - \dfrac{1}{32} = \dfrac{5}{32} $
$ P(1 \leqslant X \leqslant 3) = \dfrac{27}{32} - \dfrac{5}{32} = \dfrac{22}{32} = \dfrac{11}{16} = 0{,}6875 $La probabilité que la concentration mesurée soit comprise entre $ 1 $ et $ 3 $ vaut $\mathbf{\dfrac{11}{16}}$, soit environ $ 68{,}75\,\% $.