Calculer une probabilité avec une loi à densité
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Soit $ X $ une variable aléatoire continue de densité $ f $ sur un intervalle $ I $.
Pour calculer une probabilité du type $ p(c \leqslant X \leqslant d) $ :
- Étape 1 : identifier l'intervalle $ [c;d] $ correspondant à l'événement.
- Étape 2 : écrire la probabilité sous forme d'intégrale : $ \displaystyle p(c \leqslant X \leqslant d) = \int_{c}^{d} f(x)\,dx $.
- Étape 3 : déterminer une primitive $ F $ de $ f $.
- Étape 4 : appliquer la formule $ \displaystyle\int_{c}^{d} f(x)\,dx = F(d) - F(c) $ et donner le résultat.
Remarque
Pour une loi à densité, $ p(X = k) = 0 $ pour tout réel $ k $. Les inégalités larges et strictes donnent donc le même résultat : $ p(c \leqslant X \leqslant d) = p(c < X < d) $.
Remarque
Cas particuliers utiles :
- $ p(X \leqslant d) = \displaystyle\int_{a}^{d} f(x)\,dx $ (où $ a $ est la borne inférieure de $ I $).
- $ p(X \geqslant c) = 1 - p(X \leqslant c) $.
Probabilité sur un intervalle borné
Soit $ X $ une variable aléatoire de densité $ f(x) = \dfrac{x}{2} $ sur $ [0;2] $.
Calculer $ p(0{,}5 \leqslant X \leqslant 1{,}5) $.
Étape 1 : l'intervalle de l'événement est $ [0{,}5\,;1{,}5] $.
Étape 2 :
Étape 3 : une primitive de $ f $ est $ F(x) = \dfrac{x^{2}}{4} $.
Étape 4 :
$ F(1{,}5) = \dfrac{2{,}25}{4} = 0{,}5625 $
$ F(0{,}5) = \dfrac{0{,}25}{4} = 0{,}0625 $
Probabilité par passage au complémentaire
Soit $ X $ une variable aléatoire de densité $ f(x) = \dfrac{3 x^{2}}{8} $ sur $ [0;2] $.
Calculer $ p(X \geqslant 1) $.
Étape 1 : on cherche $ p(X \geqslant 1) $, ce qui correspond à l'intervalle $ [1;2] $.
Étape 2 : on peut directement écrire :
Étape 3 : une primitive de $ f $ est $ F(x) = \dfrac{x^{3}}{8} $.
Étape 4 :
$ F(2) = \dfrac{8}{8} = 1 $
$ F(1) = \dfrac{1}{8} $
Attention
Erreurs fréquentes :
- Oublier que $ p(X = k) = 0 $ : ne pas chercher à calculer la probabilité d'une valeur unique.
- Confondre la densité $ f(x) $ et la probabilité : $ f(x) $ n'est pas une probabilité, c'est une densité. La probabilité correspond à une aire, pas à une ordonnée.
- Inverser les bornes : $ \displaystyle\int_{c}^{d} f(x)\,dx $ avec $ c < d $.
- Étendre l'intégrale en dehors du support de la loi (où $ f $ vaut $ 0 $).