Suites arithmétiques et géométriques

Pour démontrer qu'une suite $ \left(u_{n}\right) $ est arithmétique, on pourra calculer la différence $ u_{n+1} - u_{n} $.

Si on constate que la différence est une constante $ r $, on pourra affirmer que la suite est arithmétique de raison $ r $.

On écrit successivement les relations $ u_{k+1}=u_{k}+r $ en partant de $ u_{0} $ :

$ u_{1}=u_{0}+r $

$ u_{2}=u_{1}+r=u_{0}+2r $

$ u_{3}=u_{2}+r=u_{0}+3r $

$ \dots $

$ u_{n}=u_{n-1}+r=u_{0}+n\times r $

À chaque étape on ajoute $ r $, et il y a $ n $ étapes pour passer de $ u_{0} $ à $ u_{n} $.

La formule générale $ u_{n}=u_{k}+\left(n - k\right)\times r $ s'obtient de la même façon en partant de $ u_{k} $ au lieu de $ u_{0} $ (on effectue alors $ n - k $ étapes).

$ u_{n+1} - u_{n}=a\left(n+1\right)+b - \left(an+b\right) =an+a+b - an - b=a $

et

$ u_{0}=a\times 0+b=b $

Cela se déduit immédiatement du fait que, pour tout $ n \in \mathbb{N} $, $ u_{n}=u_{0}+n\times r $ donc les points représentant la suite sont sur la droite d'équation $ y=rx+u_{0} $

Ce résultat découle immédiatement de $ u_{n+1} - u_{n}=r $

Une démonstration astucieuse consiste à réécrire la somme en inversant l'ordre des termes :

$ S = 0 + 1 + 2 + . . . + n \quad $(1)
$ S = n + n - 1 + n - 2 + . . . + 0 \quad $(2)

Puis on additionne les lignes (1) et (2) termes à termes. Dans le membre de gauche on trouve que tous les termes sont égaux à $ n $ ($ 0+n=n $ ; $ 1+n - 1=n $ ; $ 2 + n - 2=n $, etc.). Comme en tout il y a $ n+1 $ termes on trouve :

$ S+S = n + n + n + . . . + n $

$ 2S = n\left(n+1\right) $

$ S = \dfrac{n\left(n+1\right)}{2} $

Pour démontrer qu'une suite $ \left(u_{n}\right) $ dont les termes sont non nuls est une suite géométrique, on pourra calculer le rapport $ \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} $.

Si ce rapport est une constante $ q $, on pourra affirmer que la suite est une suite géométrique de raison $ q $.

On écrit successivement les relations $ u_{k+1}=q\times u_{k} $ en partant de $ u_{0} $ :

$ u_{1}=q\times u_{0} $

$ u_{2}=q\times u_{1}=q^{2}\times u_{0} $

$ u_{3}=q\times u_{2}=q^{3}\times u_{0} $

$ \dots $

$ u_{n}=q\times u_{n-1}=q^{n}\times u_{0} $

À chaque étape on multiplie par $ q $, et il y a $ n $ étapes pour passer de $ u_{0} $ à $ u_{n} $.

La formule générale $ u_{n}=u_{k}\times q^{n - k} $ s'obtient de la même façon en partant de $ u_{k} $ au lieu de $ u_{0} $ (on effectue alors $ n - k $ étapes).

$ u_{n+1}=a\times b^{n+1}=a\times b^{n}\times b=u_{n}\times b $

et

$ u_{0}=a\times b^{0}=a\times 1=a $

Donc $ \left(u_{n}\right) $ est bien une suite géométrique de raison $ b $ et de premier terme $ a $.

• Si le premier terme est strictement négatif, le sens de variation est inversé.
• Si la raison est strictement négative, la suite n'est ni croissante ni décroissante.

Cette formule n'est pas valable pour $ q=1 $. Mais dans ce cas tous les termes de la somme valent $ 1 $ ; la somme est donc égale au nombre de termes $ n+1 $.

On multiplie chaque membre par $ q $. Cela incrémente chacun des exposants de $ q $ :

$ S = 1 + q + q^{2} + . . . + q^{n} \quad $(1)
$ qS = q + q^{2} + q^{3} + . . . + q^{n+1} \quad $(2)

On soustrait termes à termes les égalités (1) et (2) ; tous les termes se simplifient sauf le premier et le dernier :

$ S - qS = 1 - q+q - q^{2}+q^{2} - q^{3}+ . . . +q^{n} - q^{n+1} $

$ \left(1 - q\right)S = 1 - q^{n+1} $

$ S = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} $

Une suite géométrique de premier terme $ u_{0} $ et de raison $ q > 0 $ peut s'écrire :

Si l'on pose $ a=\ln q $, on a alors $ u_{n}=u_{0}\times \mathrm{e}^{a\,n} $ : la suite géométrique apparaît comme la version discrète (aux valeurs entières de $ n $) de la fonction exponentielle $ x \longmapsto u_{0}\times \mathrm{e}^{a\,x} $.

C'est pour cette raison qu'une évolution à taux constant (croissance ou décroissance exponentielle) se modélise par une suite géométrique.