Calculer la somme des termes d’une suite arithmétique
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La somme $ S $ de termes consécutifs d'une suite arithmétique se calcule avec la formule :
- Étape 1 : identifier le premier terme et le dernier terme de la somme.
- Étape 2 : compter le nombre de termes. Pour une somme allant du rang $ k $ au rang $ n $, il y a $ n - k+1 $ termes.
- Étape 3 : appliquer la formule et calculer.
Cas particulier utile : somme $ 0+1+2+\dots+n $
Somme des premiers entiers
Calculer la somme $ S=1+2+3+\dots+200 $.
Étape 1 : premier terme $ =1 $, dernier terme $ =200 $.
Étape 2 : nombre de termes $ =200 $ (les entiers de $ 1 $ à $ 200 $).
Étape 3 : appliquer la formule.
$ S=200\times \dfrac{1+200}{2} $
$ \quad =200\times \dfrac{201}{2} $
$ \quad =\color{red}{100}\color{black}\times 201 $
$ \quad =20\,100 $
Somme de termes d'une suite arithmétique
Soit $ \left(u_{n}\right) $ la suite arithmétique de premier terme $ u_{0}=4 $ et de raison $ r=3 $.
Calculer la somme $ S=u_{0}+u_{1}+\dots+u_{20} $.
Étape 1 : identifier les termes.
Premier terme : $ u_{0}=4 $.
Dernier terme : $ u_{20}=u_{0}+20\times r=4+20\times 3=64 $.
Étape 2 : compter les termes.
De $ u_{0} $ à $ u_{20} $, il y a $ 20 - 0+1=21 $ termes.
Étape 3 : appliquer la formule.
$ S=21\times \dfrac{u_{0}+u_{20}}{2} $
$ \quad =21\times \dfrac{4+64}{2} $
$ \quad =21\times \dfrac{68}{2} $
$ \quad =21\times 34 $
$ \quad =714 $
Somme ne démarrant pas à $u_0$
Soit $ \left(u_{n}\right) $ la suite arithmétique définie par $ u_{n}=2n+5 $.
Calculer la somme $ T=u_{10}+u_{11}+\dots+u_{50} $.
Étape 1 : identifier les termes.
$ u_{10}=2\times 10+5=25 $
$ u_{50}=2\times 50+5=105 $
Étape 2 : compter les termes.
De $ u_{10} $ à $ u_{50} $, il y a $ 50 - 10+1=41 $ termes.
Étape 3 : appliquer la formule.
$ T=41\times \dfrac{u_{10}+u_{50}}{2} $
$ \quad =41\times \dfrac{25+105}{2} $
$ \quad =41\times \dfrac{130}{2} $
$ \quad =41\times 65 $
$ \quad =2\,665 $
Remarque
La formule peut se lire simplement ainsi : « La somme est égale au nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier terme. »
On peut retrouver le cas particulier $ 0+1+\dots+n=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2} $ à partir de la formule générale : il y a $ n+1 $ termes (de $ 0 $ à $ n $), et $ \dfrac{0+n}{2}=\dfrac{n}{2} $, donc $ S=\left(n+1\right)\times \dfrac{n}{2}=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2} $.
Attention
L'erreur la plus fréquente concerne le nombre de termes : de $ u_{k} $ à $ u_{n} $, il y a $ n - k+1 $ termes (et non $ n - k $).
Par exemple, de $ u_{3} $ à $ u_{8} $, il y a $ 8 - 3+1=6 $ termes ($ u_{3},u_{4},u_{5},u_{6},u_{7},u_{8} $) et non $ 5 $.
En cas de doute, lister les premiers rangs pour vérifier.