Calculer un terme d’une suite arithmétique
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteMéthode
Si $ \left(u_{n}\right) $ est une suite arithmétique de raison $ r $, on dispose de deux formules selon les données :
- Étape 1 : identifier les données du problème (premier terme, raison, ou deux termes quelconques).
- Étape 2 : choisir la formule adaptée.
- si l'on connaît $ u_{0} $ et $ r $, utiliser $ u_{n}=u_{0}+n\times r $
- si l'on connaît un terme de rang $ k $ et $ r $, utiliser $ u_{n}=u_{k}+\left(n - k\right)\times r $
- Étape 3 : remplacer par les valeurs et calculer.
Si la raison $ r $ n'est pas donnée, la calculer à partir de deux termes connus :
Premier terme et raison connus
Soit $ \left(u_{n}\right) $ la suite arithmétique de premier terme $ u_{0}=3 $ et de raison $ r=4 $.
Calculer $ u_{20} $ et $ u_{100} $.
Étape 1 : données connues : $ u_{0}=3 $ et $ r=4 $.
Étape 2 : utiliser la formule $ u_{n}=u_{0}+n\times r $.
Étape 3 : calculer.
$ u_{20}=3+20\times 4=3+80=83 $
$ u_{100}=3+100\times 4=3+400=403 $
Un terme intermédiaire et la raison connus
Soit $ \left(u_{n}\right) $ une suite arithmétique de raison $ r= - 2 $ telle que $ u_{5}=17 $.
Calculer $ u_{30} $.
Étape 1 : données : $ u_{5}=17 $ et $ r= - 2 $. On ne connaît pas $ u_{0} $.
Étape 2 : utiliser la formule $ u_{n}=u_{k}+\left(n - k\right)\times r $ avec $ k=5 $.
Étape 3 : calculer.
$ u_{30}=u_{5}+\left(30 - 5\right)\times r $
$ \quad =17+25\times \left( - 2\right) $
$ \quad =17 - 50 $
$ \quad = - 33 $
La raison est à calculer
Soit $ \left(u_{n}\right) $ une suite arithmétique telle que $ u_{3}=11 $ et $ u_{10}=39 $.
Calculer la raison $ r $ puis $ u_{50} $.
Étape 1 : deux termes sont donnés : $ u_{3}=11 $ et $ u_{10}=39 $.
Étape 2 : calculer la raison avec la formule $ r=\dfrac{u_{n} - u_{k}}{n - k} $.
$ r=\dfrac{u_{10} - u_{3}}{10 - 3}=\dfrac{39 - 11}{7}=\dfrac{28}{7}=4 $
Étape 3 : utiliser $ u_{n}=u_{k}+\left(n - k\right)r $ avec $ k=3 $ :
$ u_{50}=u_{3}+\left(50 - 3\right)\times 4 $
$ \quad =11+47\times 4 $
$ \quad =11+188 $
$ \quad =199 $
Remarque
La formule $ u_{n}=u_{0}+nr $ est un cas particulier de la formule générale $ u_{n}=u_{k}+\left(n - k\right)r $ (avec $ k=0 $).
Pour une suite démarrant à $ u_{1} $ au lieu de $ u_{0} $, on utilise souvent $ u_{n}=u_{1}+\left(n - 1\right)r $.
Attention
Attention à la différence des rangs dans la formule $ u_{n}=u_{k}+\left(n - k\right)r $ : il ne faut pas oublier le « $ - k $ ».
Par exemple, pour passer de $ u_{5} $ à $ u_{30} $, on ajoute $ r $ exactement $ 25 $ fois (et non $ 30 $ fois) : on multiplie donc $ r $ par $ 30 - 5=25 $, pas par $ 30 $.