Calculer la somme des termes d’une suite géométrique
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Pour tout réel $ q\neq 1 $ et tout entier naturel $ n $ :
Pour calculer la somme $ S=u_{0}+u_{1}+\dots+u_{n} $ des termes d'une suite géométrique de raison $ q $ et de premier terme $ u_{0} $ :
- Étape 1 : vérifier que $ q\neq 1 $. Si $ q=1 $, la suite est constante et $ S=\left(n+1\right)\times u_{0} $.
- Étape 2 : compter le nombre de termes : de $ u_{0} $ à $ u_{n} $, il y a $ n+1 $ termes.
Étape 3 : factoriser par $ u_{0} $ et appliquer la formule :
$ S=u_{0}\times \dfrac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q} $- Étape 4 : remplacer par les valeurs numériques et calculer.
Somme de puissances
Calculer la somme $ S=1+3+3^{2}+3^{3}+\dots+3^{10} $.
Étape 1 : la raison est $ q=3 $, différente de $ 1 $.
Étape 2 : la somme comporte les puissances de $ 3^{0} $ à $ 3^{10} $, soit $ 11 $ termes.
Étape 3 : appliquer la formule avec $ q=3 $ et une plus haute puissance de $ 10 $ :
$ S=\dfrac{1 - 3^{10+1}}{1 - 3}=\dfrac{1 - 3^{11}}{1 - 3} $
Étape 4 : calculer.
$ 3^{11}=177\,147 $
$ S=\dfrac{1 - 177\,147}{1 - 3}=\dfrac{ - 177\,146}{ - 2}=88\,573 $
Somme d'une suite géométrique avec $u_0\neq 1$
Soit $ \left(u_{n}\right) $ la suite géométrique de premier terme $ u_{0}=4 $ et de raison $ q=2 $.
Calculer la somme $ S=u_{0}+u_{1}+\dots+u_{9} $.
Étape 1 : $ q=2\neq 1 $.
Étape 2 : de $ u_{0} $ à $ u_{9} $, il y a $ 10 $ termes.
Étape 3 : factoriser par $ u_{0} $ :
$ S=u_{0}\times \left(1+q+q^{2}+\dots+q^{9}\right) $
$ \quad =u_{0}\times \dfrac{1 - q^{10}}{1 - q} $
Étape 4 : remplacer et calculer.
$ S=4\times \dfrac{1 - 2^{10}}{1 - 2} $
$ \quad =4\times \dfrac{1 - 1\,024}{ - 1} $
$ \quad =4\times \dfrac{ - 1\,023}{ - 1} $
$ \quad =4\times 1\,023 $
$ \quad =4\,092 $
Somme avec raison inférieure à 1
Soit $ \left(u_{n}\right) $ la suite géométrique de premier terme $ u_{0}=10 $ et de raison $ q=\dfrac{1}{2} $.
Calculer la somme $ S=u_{0}+u_{1}+\dots+u_{5} $.
Étape 1 : $ q=\dfrac{1}{2}\neq 1 $.
Étape 2 : il y a $ 6 $ termes (de $ u_{0} $ à $ u_{5} $).
Étape 3 : appliquer la formule.
$ S=u_{0}\times \dfrac{1 - q^{6}}{1 - q} $
Étape 4 : calculer.
$ q^{6}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{6}=\dfrac{1}{64} $
$ 1 - q^{6}=1 - \dfrac{1}{64}=\dfrac{63}{64} $
$ 1 - q=1 - \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2} $
$ S=10\times \dfrac{\dfrac{63}{64}}{\dfrac{1}{2}} $
$ \quad =10\times \dfrac{63}{64}\times \color{red}{2}\color{black} $
$ \quad =\dfrac{10\times 63\times 2}{64}=\dfrac{1\,260}{64} $
$ \quad =19{,}687\,5 $
Remarque
Pour une somme qui ne démarre pas à $ u_{0} $ (par exemple $ u_{5}+u_{6}+\dots+u_{20} $), il existe deux méthodes :
- factoriser par $ u_{5} $, ce qui fait apparaître une nouvelle suite géométrique de premier terme $ u_{5} $
- calculer $ \left(u_{0}+\dots+u_{20}\right) - \left(u_{0}+\dots+u_{4}\right) $.
Attention
Le plus grand risque d'erreur concerne l'exposant de la formule. Dans $ 1+q+q^{2}+\dots+q^{n} $, la dernière puissance est $ q^{n} $ et il y a $ n+1 $ termes. La formule utilise $ q^{n+1} $ au numérateur.
Exemple : pour $ 1+q+q^{2}+q^{3} $ ($ 4 $ termes), on utilise $ \dfrac{1 - q^{4}}{1 - q} $ (l'exposant est égal au nombre de termes, pas à la plus haute puissance présente).
Cette formule ne s'applique pas si $ q=1 $ (division par $ 0 $).