Montrer qu’une suite est arithmétique
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Pour montrer qu'une suite $ \left(u_{n}\right) $ est arithmétique :
- Étape 1 : calculer $ u_{n+1} - u_{n} $ en fonction de $ n $.
- Étape 2 : simplifier l'expression pour vérifier si le résultat est une constante (c'est-à-dire un nombre ne dépendant pas de $ n $).
- Étape 3 : conclure :
- si $ u_{n+1} - u_{n}=r $ (constant) pour tout $ n\in \mathbb{N} $, alors $ \left(u_{n}\right) $ est arithmétique de raison $ r $
- si l'expression dépend de $ n $, alors $ \left(u_{n}\right) $ n'est pas arithmétique.
Il faut ensuite préciser la raison $ r $ et le premier terme $ u_{0} $ (ou $ u_{1} $ selon la suite).
Suite définie par une formule explicite
Soit la suite $ \left(u_{n}\right) $ définie pour tout $ n\in \mathbb{N} $ par $ u_{n}=5n - 7 $.
Étape 1 : calculer $ u_{n+1} - u_{n} $.
$ u_{n+1}=5\left(n+1\right) - 7=5n+5 - 7=5n - 2 $
$ u_{n+1} - u_{n}=\left(5n - 2\right) - \left(5n - 7\right) $
$ \quad =5n - 2 - 5n+7 $
$ \quad =\color{red}{5n - 5n}\color{black}+\left( - 2+7\right) $
$ \quad =5 $
Étape 2 : la différence $ u_{n+1} - u_{n}=5 $ est une constante.
Étape 3 : la suite $ \left(u_{n}\right) $ est arithmétique de raison $ r=5 $ et de premier terme $ u_{0}=5\times 0 - 7= - 7 $.
Suite qui n'est pas arithmétique
Soit la suite $ \left(v_{n}\right) $ définie pour tout $ n\in \mathbb{N} $ par $ v_{n}=n^{2}+1 $.
Étape 1 : calculer $ v_{n+1} - v_{n} $.
$ v_{n+1}=\left(n+1\right)^{2}+1=n^{2}+2n+1+1=n^{2}+2n+2 $
$ v_{n+1} - v_{n}=\left(n^{2}+2n+2\right) - \left(n^{2}+1\right) $
$ \quad =\color{red}{n^{2} - n^{2}}\color{black}+2n+2 - 1 $
$ \quad =2n+1 $
Étape 2 : la différence $ 2n+1 $ dépend de $ n $ : elle n'est pas constante.
Étape 3 : la suite $ \left(v_{n}\right) $ n'est pas arithmétique.
Suite définie par récurrence
Soit la suite $ \left(w_{n}\right) $ définie par $ w_{0}=2 $ et, pour tout $ n\in \mathbb{N} $ :
Étape 1 : calculer $ w_{n+1} - w_{n} $.
$ w_{n+1} - w_{n}=\left(w_{n} - 3\right) - w_{n} $
$ \quad =\color{red}{w_{n} - w_{n}}\color{black} - 3 $
$ \quad = - 3 $
Étape 2 : la différence vaut $ - 3 $, c'est une constante.
Étape 3 : la suite $ \left(w_{n}\right) $ est arithmétique de raison $ r= - 3 $ et de premier terme $ w_{0}=2 $.
Remarque
Pour les suites définies sous la forme $ u_{n}=a\,n+b $, il existe un résultat direct : une telle suite est toujours arithmétique de raison $ r=a $ et de premier terme $ u_{0}=b $.
Par exemple $ u_{n}=5n - 7 $ est arithmétique de raison $ 5 $ et de premier terme $ - 7 $ (ce qui confirme l'exemple 1).
Attention
Il ne suffit pas de vérifier que les premières différences $ u_{1} - u_{0} $, $ u_{2} - u_{1} $ sont égales pour conclure qu'une suite est arithmétique.
Par exemple, pour $ v_{n}=n^{2}+1 $ :
$ v_{1} - v_{0}=2 - 1=1 $
$ v_{2} - v_{1}=5 - 2=3 $
Les différences ne sont pas égales : la suite n'est pas arithmétique. Mais même si les deux premières différences étaient égales, il faudrait vérifier que c'est vrai pour tout $ n $ en calculant $ u_{n+1} - u_{n} $ en toute généralité.