Montrer qu’une suite est géométrique
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Pour montrer qu'une suite $ \left(u_{n}\right) $ dont les termes sont tous non nuls est géométrique :
- Étape 1 : vérifier que les termes de la suite sont bien non nuls (sinon le quotient n'est pas défini).
- Étape 2 : calculer le quotient $ \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} $ en fonction de $ n $.
- Étape 3 : simplifier l'expression pour vérifier si le résultat est une constante :
- si $ \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=q $ (constant) pour tout $ n\in \mathbb{N} $, alors $ \left(u_{n}\right) $ est géométrique de raison $ q $
- si le résultat dépend de $ n $, alors $ \left(u_{n}\right) $ n'est pas géométrique.
Il faut ensuite préciser la raison $ q $ et le premier terme $ u_{0} $.
Suite définie par une formule explicite
Soit la suite $ \left(u_{n}\right) $ définie pour tout $ n\in \mathbb{N} $ par $ u_{n}=4\times 3^{n} $.
Étape 1 : les termes sont tous strictement positifs (donc non nuls) car $ 4 > 0 $ et $ 3^{n} > 0 $.
Étape 2 : calculer $ \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} $.
$ \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{4\times 3^{n+1}}{4\times 3^{n}} $
$ \quad =\dfrac{\color{red}{4}\color{black}\times 3^{n+1}}{\color{red}{4}\color{black}\times 3^{n}} $
$ \quad =\dfrac{3^{n+1}}{3^{n}} $
$ \quad =3^{n+1 - n}=3 $
Étape 3 : le quotient vaut $ 3 $, c'est une constante.
La suite $ \left(u_{n}\right) $ est géométrique de raison $ q=3 $ et de premier terme $ u_{0}=4\times 3^{0}=4 $.
Suite définie par récurrence
Soit la suite $ \left(v_{n}\right) $ définie par $ v_{0}=7 $ et, pour tout $ n\in \mathbb{N} $ :
Étape 1 : $ v_{0}=7\neq 0 $. De plus, comme $ v_{n+1}=\dfrac{1}{2}v_{n} $, si $ v_{n}\neq 0 $ alors $ v_{n+1}\neq 0 $. Par récurrence, tous les termes sont non nuls.
Étape 2 : calculer $ \dfrac{v_{n+1}}{v_{n}} $.
$ \dfrac{v_{n+1}}{v_{n}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}v_{n}}{v_{n}} $
$ \quad =\dfrac{1}{2}\times \dfrac{\color{red}{v_{n}}\color{black}}{\color{red}{v_{n}}\color{black}}=\dfrac{1}{2} $
Étape 3 : le quotient vaut $ \dfrac{1}{2} $, c'est une constante.
La suite $ \left(v_{n}\right) $ est géométrique de raison $ q=\dfrac{1}{2} $ et de premier terme $ v_{0}=7 $.
Suite qui n'est pas géométrique
Soit la suite $ \left(w_{n}\right) $ définie pour tout $ n\in \mathbb{N} $ par $ w_{n}=2n+1 $.
Étape 1 : pour tout $ n\in \mathbb{N} $, $ 2n+1\geqslant 1 $, donc les termes sont non nuls.
Étape 2 : calculer $ \dfrac{w_{n+1}}{w_{n}} $.
$ w_{n+1}=2\left(n+1\right)+1=2n+3 $
$ \dfrac{w_{n+1}}{w_{n}}=\dfrac{2n+3}{2n+1} $
Étape 3 : ce quotient dépend de $ n $. Par exemple $ \dfrac{w_{1}}{w_{0}}=\dfrac{3}{1}=3 $ et $ \dfrac{w_{2}}{w_{1}}=\dfrac{5}{3} $ : ce n'est pas constant.
La suite $ \left(w_{n}\right) $ n'est pas géométrique.
Remarque
Pour les suites définies sous la forme $ u_{n}=a\times b^{n} $ (avec $ a\neq 0 $ et $ b\neq 0 $), il existe un résultat direct : cette suite est géométrique de raison $ q=b $ et de premier terme $ u_{0}=a $.
Par exemple $ u_{n}=4\times 3^{n} $ est géométrique de raison $ 3 $ et de premier terme $ 4 $ (ce qui confirme l'exemple 1).
Attention
Il ne faut pas oublier de vérifier que les termes sont non nuls avant de calculer le rapport $ \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} $ : sinon, la division n'a pas de sens.
Pour les suites à termes négatifs, la division reste valable tant qu'aucun terme n'est nul. Le résultat peut donc être une raison $ q $ négative.