La fonction inverse et la fonction racine carrée
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1 - La fonction inverse
Définition
La fonction inverse est la fonction définie sur $\left] -\infty ; 0\right[ \cup \left]0 ; +\infty \right[$ par :
Sa courbe représentative est une hyperbole.
Propriété
La courbe représentative de la fonction inverse est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Remarque
Les nombres $x$ et $\dfrac{1}{x}$ sont toujours de même signe : l'hyperbole est située dans le premier quadrant (quand $x > 0$) et dans le troisième quadrant (quand $x < 0$).
Propriété
La fonction inverse est strictement décroissante sur $\left]0 ; +\infty \right[$ et sur $\left] -\infty ; 0\right[$.
Attention
La fonction inverse n'est pas décroissante sur son ensemble de définition tout entier. Par exemple, $-2 < 3$ mais $\dfrac{1}{-2} < \dfrac{1}{3}$ : l'ordre n'est pas inversé ici car $-2$ et $3$ ne sont pas de même signe.
On ne peut comparer $\dfrac{1}{a}$ et $\dfrac{1}{b}$ grâce à la décroissance de la fonction inverse que si $a$ et $b$ sont de même signe.
Comparaison de nombres
On veut comparer $\dfrac{1}{\pi}$ et $\dfrac{1}{3}$.
On sait que $\pi > 3 > 0$. Comme $3$ et $\pi$ sont strictement positifs et que la fonction inverse est strictement décroissante sur $\left]0 ; +\infty \right[$, on en déduit que $\dfrac{1}{\pi} < \dfrac{1}{3}$.
Encadrement
On sait que $2 \leqslant x \leqslant 5$.
Comme $2$ et $5$ sont positifs et que la fonction inverse est strictement décroissante sur $\left]0 ; +\infty \right[$, on inverse les inégalités :
$\dfrac{1}{5} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{2}$
2 - La fonction racine carrée
Définition
Pour tout réel positif $x$, la racine carrée de $x$, notée $\sqrt{x}$, est l'unique réel positif dont le carré est égal à $x$ :
La fonction racine carrée est la fonction définie sur $\left[0 ; +\infty\right[$ par $x \mapsto \sqrt{x}$.
Exemple
- $\sqrt{4} = 2$ car $2^2 = 4$ et $2 \geqslant 0$
- $\sqrt{9} = 3$ car $3^2 = 9$ et $3 \geqslant 0$
- $\sqrt{0} = 0$ et $\sqrt{1} = 1$
Remarque
- $\sqrt{x}$ n'existe que pour $x \geqslant 0$. Par exemple, $\sqrt{-3}$ n'a pas de sens.
- Attention : $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 \neq -5$. De manière générale, $\sqrt{x^2} = |x|$ (et non $x$).
Propriété
La courbe représentative de la fonction racine carrée part de l'origine et est située dans le quart de plan où $x \geqslant 0$ et $y \geqslant 0$.
Propriété
La fonction racine carrée est strictement croissante sur $\left[0 ; +\infty\right[$.
Comparaison de nombres
On veut comparer $\sqrt{5}$ et $\sqrt{7}$.
Comme $0 \leqslant 5 < 7$ et que la fonction racine carrée est strictement croissante sur $\left[0 ; +\infty\right[$, on en déduit que $\sqrt{5} < \sqrt{7}$.
Résolution d'une équation
Résoudre l'équation $\sqrt{x} = 3$.
Si $\sqrt{x} = 3$, alors en élevant au carré : $x = 3^2 = 9$.
Réciproquement, $\sqrt{9} = 3$. L'unique solution est donc $\mathbf{x = 9}$.
Résolution d'une inéquation
Résoudre l'inéquation $\sqrt{x} \leqslant 4$.
Comme la fonction racine carrée est croissante, $\sqrt{x} \leqslant 4$ équivaut à $x \leqslant 4^2 = 16$, avec la condition $x \geqslant 0$.
L'ensemble des solutions est $\mathbf{\left[0 ; 16\right]}$.
Les questions essentielles
1. Comment comparer deux nombres avec la fonction inverse ?
On vérifie que les deux nombres sont de même signe, on les compare, puis on inverse le sens de l'inégalité : si $ a < b $ (avec $ a $ et $ b $ de même signe), alors $ \dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b} $.
Voir la fiche méthode : Comparer deux nombres avec la fonction inverse
2. Comment comparer deux nombres avec la fonction racine carrée ?
On vérifie que les deux nombres sont positifs, on les compare, puis on conserve le sens de l'inégalité : si $ a < b $, alors $ \sqrt{a} < \sqrt{b} $. Pour comparer un entier à une racine, on met l'entier sous la forme $ \sqrt{n^2} $.
Voir la fiche méthode : Comparer deux nombres avec la fonction racine carrée
3. Comment résoudre graphiquement une équation ou inéquation avec une fonction de référence ?
On trace la courbe de la fonction et la droite horizontale $ y = k $. Les abscisses des points d'intersection donnent les solutions de $ f\left(x\right) = k $. Pour une inéquation, on lit les zones où la courbe est au-dessus ou en dessous de la droite.
Voir la fiche méthode : Résoudre graphiquement une équation ou inéquation
4. Comment encadrer une expression avec la fonction inverse ?
À partir d'un encadrement $ a \leqslant x \leqslant b $ (avec $ a $ et $ b $ de même signe), on applique la fonction inverse en inversant les inégalités : $ \dfrac{1}{b} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{a} $.
Voir la fiche méthode : Encadrer une expression avec la fonction inverse