Comparer deux nombres avec la fonction racine carrée
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La fonction racine carrée $ f\left(x\right) = \sqrt{x} $ est strictement croissante sur $ \left[0\,;\,+\infty\right[ $.
Cela signifie que si deux nombres positifs sont rangés dans un ordre, leurs racines carrées sont rangées dans le même ordre.
Méthode
Pour comparer $ \sqrt{a} $ et $ \sqrt{b} $ où $ a \geqslant 0 $ et $ b \geqslant 0 $ :
- Vérifier que $ a $ et $ b $ sont positifs ou nuls.
- Comparer $ a $ et $ b $.
- Conserver le sens de l'inégalité : si $ a < b $ alors $ \sqrt{a} < \sqrt{b} $.
Attention
La racine carrée n'est définie que pour des nombres positifs ou nuls. Avant de comparer, il faut toujours vérifier que les expressions sous le radical sont positives.
Comparer deux racines carrées
Comparer $ \sqrt{7} $ et $ \sqrt{11} $.
Étape 1 : on vérifie que $ 7 \geqslant 0 $ et $ 11 \geqslant 0 $. Les deux nombres sont positifs.
Étape 2 : on compare les radicandes :
Étape 3 : la fonction racine carrée est croissante sur $ \left[0\,;\,+\infty\right[ $, donc on conserve le sens de l'inégalité :
Comparer un entier et une racine carrée
Comparer $ 5 $ et $ \sqrt{23} $.
Étape 1 : on écrit $ 5 $ sous forme de racine carrée :
Étape 2 : on compare les radicandes :
Étape 3 : la fonction racine carrée est croissante, donc :
Conclusion : $ \sqrt{23} < 5 $.
Remarque
Cette méthode est particulièrement utile pour comparer un nombre entier à une racine carrée. Il suffit de mettre l'entier sous la forme $ \sqrt{n^2} $ puis de comparer les radicandes.
Par exemple, pour comparer $ 3 $ et $ \sqrt{10} $ : on écrit $ 3 = \sqrt{9} $ et comme $ 9 < 10 $, on conclut $ 3 < \sqrt{10} $.