Comparer deux nombres avec la fonction inverse
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La fonction inverse $ f\left(x\right) = \dfrac{1}{x} $ est strictement décroissante sur $ \left]-\infty\,;\,0\right[ $ et sur $ \left]0\,;\,+\infty\right[ $.
Cela signifie que si deux nombres de même signe sont rangés dans un ordre, leurs inverses sont rangés dans l'ordre contraire.
Méthode
Pour comparer $ \dfrac{1}{a} $ et $ \dfrac{1}{b} $ où $ a $ et $ b $ sont non nuls et de même signe :
- Vérifier que $ a $ et $ b $ sont de même signe (tous deux positifs ou tous deux négatifs).
- Comparer $ a $ et $ b $.
- Inverser le sens de l'inégalité : si $ a < b $ alors $ \dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b} $.
Attention
On ne peut pas comparer directement $ \dfrac{1}{a} $ et $ \dfrac{1}{b} $ si $ a $ et $ b $ sont de signes contraires. La règle d'inversion ne s'applique que lorsque les deux nombres sont du même côté de $ 0 $.
Comparer deux inverses de nombres positifs
Comparer $ \dfrac{1}{3} $ et $ \dfrac{1}{7} $.
Étape 1 : on vérifie que $ 3 > 0 $ et $ 7 > 0 $. Les deux nombres sont positifs : on peut appliquer la méthode.
Étape 2 : on compare les dénominateurs :
Étape 3 : la fonction inverse est décroissante sur $ \left]0\,;\,+\infty\right[ $, donc on inverse l'inégalité :
Comparer deux inverses de nombres négatifs
Comparer $ \dfrac{1}{-5} $ et $ \dfrac{1}{-2} $.
Étape 1 : on vérifie que $ -5 < 0 $ et $ -2 < 0 $. Les deux nombres sont négatifs : on peut appliquer la méthode.
Étape 2 : on compare les dénominateurs :
Étape 3 : la fonction inverse est décroissante sur $ \left]-\infty\,;\,0\right[ $, donc on inverse l'inégalité :
Autrement dit : $ -\dfrac{1}{5} > -\dfrac{1}{2} $.
Remarque
Cette méthode permet aussi de comparer des expressions plus complexes. Par exemple, pour comparer $ \dfrac{1}{\sqrt{2}} $ et $ \dfrac{1}{\sqrt{5}} $, il suffit de remarquer que $ \sqrt{2} > 0 $, $ \sqrt{5} > 0 $ et $ \sqrt{2} < \sqrt{5} $, donc $ \dfrac{1}{\sqrt{2}} > \dfrac{1}{\sqrt{5}} $.