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Fonction logarithme népérien Exercices

Logarithme – Bac ES/L Métropole Réunion 2016

Durée estimée
25 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

La courbe $ (C) $ ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction $ f $ définie et dérivable sur $ [0,5~;6] $.

Courbe de la fonction f sur [0,5 ; 6] avec tangentes en A et B

Les points $ A\ (1~;~3) $ et $ B $ d'abscisse $ 1,5 $ sont sur la courbe $ (C) $.

Les tangentes à la courbe $ (C) $ aux points $ A $ et $ B $ sont aussi représentées en pointillés sur ce graphique, la tangente au point $ B $ est horizontale.

On note $ f^\prime $ la fonction dérivée de $ f $. Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Étude graphique

  1. Déterminer $ f^\prime(1,5) $.
  2. La tangente à la courbe $ (C) $ passant par $ A $ passe par le point de coordonnées $ (0\,;\,2) $. Déterminer une équation de cette tangente.
  3. Donner un encadrement de l'aire, en unités d'aire et à l'unité près, du domaine compris entre la courbe $ (C) $, l'axe des abscisses et les droites d'équations $ x=1 $ et $ x=2 $.
  4. Déterminer la convexité de la fonction $ f $ sur $ [0,5\,;\,6] $. Argumenter la réponse.

Partie B

Étude analytique

On admet que la fonction $ f $ est définie sur $ [0,5~;~6] $ par

$ f(x) = - 2x+5+3\ln (x). $
  1. Pour tout réel $ x $ de $ [0,5~;~6] $, calculer $ f^\prime(x) $ et montrer que $ f^\prime(x)=\dfrac{ - 2x+3}{x} $.
  2. Étudier le signe de $ f^\prime $ sur $ [0,5~;~6] $ puis dresser le tableau de variation de $ f $ sur $ [0,5~;~6] $.

  3. Montrer que l'équation $ f(x)=0 $ admet exactement une solution $ \alpha $ sur $ [0,5\,;\,6] $.

    Donner une valeur approchée de $ \alpha $ à $ 10^{ - 2} $ près.

  4. En déduire le tableau de signe de $ f $ sur $ [0,5~;~6] $.

  5. On considère la fonction $ F $ définie sur $ [0,5~;~6] $ par

    $ F(x)= - x^2 +2x +3x \ln(x) $.

    1. Montrer que $ F $ est une primitive de $ f $ sur $ [0,5~;~6] $.
    2. En déduire l'aire exacte, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $ (C) $, l'axe des abscisses et les droites d'équation $ x = 1 $ et $ x = 2 $. En donner ensuite une valeur arrondie au dixième.

Corrigé

Partie A

  1. La tangente au point $ B $ d'abscisse $ 1,5 $ est horizontale, donc $\mathbf{f'(1,5) = 0}$.

  2. La tangente à la courbe passant par $ A(1\,;\,3) $ et par le point $ (0\,;\,2) $ a pour coefficient directeur :

    $ m = \dfrac{2 - 3}{0 - 1} = \dfrac{-1}{-1} = 1 $

    L'ordonnée à l'origine est $ 2 $ (puisque la tangente passe par le point $ (0\,;\,2) $).
    Une équation de cette tangente est donc $\mathbf{y = x + 2}$.

  3. L'aire du domaine est comprise entre l'aire des rectangles inférieurs et supérieurs. Graphiquement, pour $ x \in [1\,;\,2] $, on peut estimer l'aire $ S $ :
    $\mathbf{3 < S < 4}$.
  4. La courbe $ (C) $ est située en dessous de toutes ses tangentes sur l'intervalle $ [0,5\,;\,6] $, par conséquent la fonction $ f $ est concave sur cet intervalle.

Partie B

  1. Pour tout réel $ x $ de $ [0{,}5\,;\,6] $ :

    $ f'(x) = -2 + \dfrac{3}{x} = \dfrac{-2x + 3}{x} $

  2. Sur $ [0{,}5\,;\,6] $, $ x > 0 $, donc $ f'(x) $ est du même signe que $ -2x + 3 $.
    $ -2x + 3 = 0 \iff x = 1{,}5 $.
    $ -2x + 3 > 0 \iff x < 1{,}5 $.

    On en déduit le tableau de variations de $ f $ :

    Tableau de variations de f

    Valeurs aux bornes : $ f(0{,}5) = 4 + 3\ln(0{,}5) \approx 1{,}9 $, $ f(1{,}5) = 2 + 3\ln(1{,}5) \approx 3{,}2 $ et $ f(6) = -7 + 3\ln(6) \approx -1{,}6 $.

  3. Sur l'intervalle $ [0{,}5\,;\,1{,}5] $, le maximum de $ f $ est $ 2 + 3\ln(1{,}5) \approx 3{,}22 $, donc $ f(x) > 0 $ sur cet intervalle.
    Sur l'intervalle $ [1{,}5\,;\,6] $ :
  4. $ f $ est continue et strictement décroissante.
  5. $ f(1{,}5) = 2 + 3\ln(1{,}5) \approx 3{,}22 > 0 $.

  6. $ f(6) = -7 + 3\ln(6) \approx -1{,}62 < 0 $.

    D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (cas des fonctions strictement monotones), l'équation $ f(x) = 0 $ admet une unique solution $ \alpha $ sur $ [1{,}5\,;\,6] $. Comme $ f(x) > 0 $ sur $ [0{,}5\,;\,1{,}5] $, $ \alpha $ est l'unique solution sur $ [0{,}5\,;\,6] $.
    À la calculatrice, on trouve $\mathbf{\alpha \approx 4{,}88}$.

  7. D'après le tableau de variations et la question précédente, on obtient le tableau de signe de $ f $ :

    Tableau de signe de f
    1. $ F $ est dérivable sur $ [0{,}5\,;\,6] $ comme somme et produit de fonctions dérivables.
      $ F'(x) = -2x + 2 + \left( 3 \times \ln(x) + 3x \times \dfrac{1}{x} \right) $
      $ F'(x) = -2x + 2 + 3\ln(x) + 3 $
      $ F'(x) = -2x + 5 + 3\ln(x) = f(x) $
      Donc $ F $ est une primitive de $ f $ sur $ [0{,}5\,;\,6] $.
    2. Sur $ [1\,;\,2] $, $ f(x) > 0 $ (car $ 1 < \alpha $ et $ 2 < \alpha $), donc l'aire $ S $ est donnée par :
      $ S = \displaystyle\int_{1}^{2} f(x) \, dx = F(2) - F(1) $.
      $ F(2) = -2^{2} + 2 \times 2 + 3 \times 2 \times \ln(2) = -4 + 4 + 6\ln(2) = 6\ln(2) $.
      $ F(1) = -1^{2} + 2 \times 1 + 3 \times 1 \times \ln(1) = -1 + 2 + 0 = 1 $.
      L'aire exacte est $\mathbf{S = 6\ln(2) - 1}$ unités d'aire.
      $ S \approx 6 \times 0{,}693 - 1 \approx 4{,}158 - 1 \approx 3{,}158 $.
      La valeur arrondie au dixième est $\mathbf{S \approx 3{,}2}$.