Le centre de symétrie d’un parallélogramme

Durée estimée

10 minutes

Difficulté

$ ABCD $ est un parallélogramme dont les diagonales $ [AC] $ et $ [BD] $ se coupent en $ O $.

On rappelle une propriété vue en cours : dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu.

Justifier que les points $ A $ et $ C $ sont symétriques par rapport à $ O $.
Justifier que les points $ B $ et $ D $ sont symétriques par rapport à $ O $.
En déduire que le point $ O $ est centre de symétrie du parallélogramme $ ABCD $.
On donne $ AB = 7 $ cm et $ BC = 4 $ cm. En utilisant les questions précédentes, donner sans calcul les longueurs $ CD $ et $ AD $.

Corrigé

Le point $ O $ est l'intersection des diagonales du parallélogramme $ ABCD $. D'après la propriété rappelée, $ O $ est le milieu du segment $ [AC] $. Par définition de la symétrie centrale, $ A $ et $ C $ sont symétriques par rapport à $ O $.
De la même manière, $ O $ est le milieu de la diagonale $ [BD] $. Donc $ B $ et $ D $ sont symétriques par rapport à $ O $.
Par la symétrie de centre $ O $ : le symétrique de $ A $ est $ C $, le symétrique de $ B $ est $ D $, le symétrique de $ C $ est $ A $ et le symétrique de $ D $ est $ B $. Le symétrique du parallélogramme $ ABCD $ est donc le quadrilatère $ CDAB $, qui est exactement le même parallélogramme.

Le parallélogramme se superpose à lui-même par la symétrie de centre $ O $ : $ O $ est centre de symétrie du parallélogramme $ ABCD $.
Par la symétrie de centre $ O $, le segment $ [AB] $ a pour image le segment $ [CD] $ (puisque $ A \mapsto C $ et $ B \mapsto D $). La symétrie centrale conserve les longueurs, donc :
$ CD = AB = $ $ 7 $ cm.

De même, le segment $ [BC] $ a pour image le segment $ [DA] $, donc :
$ AD = BC = $ $ 4 $ cm.