Utiliser un arbre des possibles pour dénombrer les issues
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Lorsqu'une expérience aléatoire comporte deux ou trois épreuves successives (ou choix successifs), on construit un arbre des possibles pour lister toutes les issues :
- Étape 1 : Identifier les épreuves successives et la liste des issues de chacune.
- Étape 2 : Tracer les branches de la première épreuve depuis la racine, une branche par issue.
- Étape 3 : À partir de chaque nœud, tracer les branches de l'épreuve suivante. Chaque chemin complet (de la racine à une extrémité) correspond à une issue de l'expérience.
- Étape 4 : Compter le nombre total d'issues et le nombre de cas favorables, puis appliquer la formule d'équiprobabilité :
Remarque
En Seconde, l'arbre sert uniquement à dénombrer les issues. Les probabilités ne sont pas écrites sur les branches : c'est l'ensemble des issues finales qui est supposé équiprobable, pas chaque branche. Les arbres pondérés seront étudiés en classe de Première.
Choix d'un menu à deux plats
Dans un restaurant, on choisit au hasard une entrée parmi {Salade, Carottes} et un plat parmi {Poisson, Viande, Tarte}. Tous les menus sont également choisis au hasard. Quelle est la probabilité d'obtenir un menu contenant de la viande ?
Étape 1 : Première épreuve : le choix de l'entrée (2 issues). Deuxième épreuve : le choix du plat (3 issues).
Étape 2 et 3 : On trace l'arbre :
Étape 4 : L'arbre donne $2 \times 3 = 6$ issues équiprobables. Les menus contenant de la viande sont (S~ ;~Viande) et (C~ ;~Viande), soit 2 issues favorables.
Trois lancers de pièce
On lance trois fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement deux Piles ?
Étape 1 : Trois épreuves successives, chacune à deux issues : Pile (P) ou Face (F).
Étape 2 et 3 : L'arbre possède trois niveaux. On lit les issues en parcourant tous les chemins de la racine vers les feuilles :
Étape 4 : L'univers contient $2 \times 2 \times 2 = 8$ issues équiprobables. Les issues avec exactement deux Piles sont PPF, PFP et FPP, soit 3 cas favorables.
Attention
En Seconde, l'arbre ne sert pas à calculer une probabilité en multipliant les branches : cette règle est réservée aux arbres pondérés (vus en Première). Tant que l'arbre permet simplement de lister des issues équiprobables, on applique la formule $\dfrac{\text{favorables}}{\text{possibles}}$.