Calculer une limite par comparaison
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Pour calculer la limite en $+\infty$ ou $-\infty$ d'une fonction $f$ que l'on ne sait pas étudier directement (par exemple parce qu'elle contient un terme oscillant comme $\sin x$ ou $\cos x$) :
- Étape 1 : encadrer ou comparer $f(x)$ par une fonction $g(x)$ dont la limite est connue.
- Étape 2 : vérifier le sens de l'inégalité au voisinage de l'infini considéré.
- Étape 3 : appliquer le théorème de comparaison.
- Étape 4 : conclure sur la limite de $f$.
Théorème de comparaison. Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies au voisinage de $+\infty$ telles que $f(x) \geqslant g(x)$ pour $x$ assez grand.
- Si $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$, alors $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.
- Si $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$, alors $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty$.
Énoncé analogue en $-\infty$ avec l'inégalité opposée.
Limite avec un terme sinus
Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(x + \sin x\right)$.
Étape 1 : pour tout réel $x$, $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$, donc :
$x - 1 \leqslant x + \sin x$.
Étape 2 : on a la minoration $x + \sin x \geqslant x - 1$ pour tout réel $x$.
Étape 3 : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(x - 1\right) = +\infty$, donc par théorème de comparaison :
Étape 4 : la fonction $x \mapsto x + \sin x$ tend vers $+\infty$ malgré l'oscillation du sinus.
Limite avec un terme exponentiel
Calculer $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(-e^{-x} + \cos x\right)$.
Étape 1 : pour tout réel $x$, $\cos x \leqslant 1$, donc $-e^{-x} + \cos x \leqslant -e^{-x} + 1$.
Étape 2 : majoration : $-e^{-x} + \cos x \leqslant -e^{-x} + 1$.
Étape 3 : $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^{-x} = +\infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(-e^{-x} + 1\right) = -\infty$.
Par théorème de comparaison (variante avec une majoration tendant vers $-\infty$) :
Remarque
Le théorème de comparaison est utile dès qu'apparaît un terme borné mais oscillant ($\sin$, $\cos$) ou difficile à manipuler par les opérations usuelles. L'idée est de remplacer le terme gênant par sa borne supérieure ou inférieure.
Attention
Bien respecter le sens de l'inégalité avant d'appliquer le théorème :
- pour conclure « $f \to +\infty$ », il faut minorer $f$ par une fonction tendant vers $+\infty$ ;
- pour conclure « $f \to -\infty$ », il faut majorer $f$ par une fonction tendant vers $-\infty$.
L'inégalité doit être vraie au voisinage de l'infini considéré, pas nécessairement sur $\mathbb{R}$ tout entier.