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Fonctions : limites - continuité Exercices

Limites par théorème de comparaison

Durée estimée
10 minutes
Difficulté
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Objectif travaillé

Pour chacune des fonctions suivantes, calculer la limite demandée en utilisant le théorème de comparaison.

  1. Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x + 3\sin(x)$. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
  2. Soit $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = -x^2 + \cos(x)$. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x)$.
  3. Soit $h$ définie sur $[0\,;+\infty[$ par $h(x) = \sqrt{x} - \cos(2x)$. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} h(x)$.

Corrigé

  1. Pour tout réel $x$, $-1 \leqslant \sin(x) \leqslant 1$, donc $-3 \leqslant 3\sin(x)$. En ajoutant $x$ aux deux membres :
    $x - 3 \leqslant x + 3\sin(x)$.

    On a ainsi minoré $f$ par la fonction $x \mapsto x - 3$ sur $\mathbb{R}$.

    Or $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (x - 3) = +\infty$.

    Par théorème de comparaison : $\mathbf{\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty}$.

  2. Pour tout réel $x$, $\cos(x) \leqslant 1$, donc :
    $-x^2 + \cos(x) \leqslant -x^2 + 1$.

    On a ainsi majoré $g$ par la fonction $x \mapsto -x^2 + 1$ sur $\mathbb{R}$.

    Or $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (-x^2 + 1) = -\infty$.

    Par théorème de comparaison : $\mathbf{\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty}$.

  3. Pour tout réel $x$, $-1 \leqslant \cos(2x) \leqslant 1$, donc $-\cos(2x) \geqslant -1$. En ajoutant $\sqrt{x}$ aux deux membres :
    $\sqrt{x} - \cos(2x) \geqslant \sqrt{x} - 1$.

    On a ainsi minoré $h$ par la fonction $x \mapsto \sqrt{x} - 1$ sur $[0\,;+\infty[$.

    Or $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x} - 1\right) = +\infty$.

    Par théorème de comparaison : $\mathbf{\displaystyle\lim_{x \to +\infty} h(x) = +\infty}$.

Remarque

Pour conclure que $f \to +\infty$, on minore $f$ par une fonction tendant vers $+\infty$.
Pour conclure que $g \to -\infty$, on majore $g$ par une fonction tendant vers $-\infty$.
Le sens de l'inégalité doit toujours être en accord avec la limite cherchée.

Pour réviser : Calculer une limite par comparaison