Simplifier une expression avec la fonction exponentielle
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Pour simplifier une expression contenant des exponentielles, on applique les propriétés algébriques de la fonction exponentielle :
- Étape 1 : repérer la structure (produit, quotient ou puissance d'exponentielles).
- Étape 2 : appliquer la propriété correspondante pour regrouper en une seule exponentielle.
- Étape 3 : simplifier l'exposant obtenu (développer, réduire, factoriser si besoin).
Produit et quotient de valeurs numériques
Simplifier l'expression :
$ A=\text{e}^{3}\times \text{e}^{-2}\times \dfrac{1}{\text{e}} $
Étape 1 : l'expression est un produit de trois exponentielles. On utilise $ \dfrac{1}{\text{e}}=\text{e}^{-1} $.
$ A=\text{e}^{3}\times \text{e}^{-2}\times \text{e}^{-1} $
Étape 2 : on applique $ \text{e}^{a}\times \text{e}^{b}=\text{e}^{a+b} $.
$ A=\text{e}^{3+(-2)+(-1)} $
Étape 3 : on calcule l'exposant.
Quotient d'exponentielles dépendant de $x$
Simplifier pour tout réel $ x $ :
$ B=\dfrac{\text{e}^{2x+1}\times \text{e}^{x-2}}{\text{e}^{x-3}} $
Étape 1 : le numérateur est un produit, puis l'ensemble est un quotient.
Étape 2 : on regroupe d'abord le produit du numérateur.
$ \text{e}^{2x+1}\times \text{e}^{x-2}=\text{e}^{(2x+1)+(x-2)}=\text{e}^{3x-1} $
On applique ensuite $ \dfrac{\text{e}^{a}}{\text{e}^{b}}=\text{e}^{a-b} $.
$ B=\dfrac{\text{e}^{3x-1}}{\text{e}^{x-3}}=\text{e}^{(3x-1)-(x-3)} $
Étape 3 : on développe et on réduit l'exposant.
Remarque
Une expression du type $ \left(\text{e}^{x}\right)^{3}\times \text{e}^{-2x} $ se simplifie d'abord avec $ \left(\text{e}^{a}\right)^{n}=\text{e}^{na} $ :
$ \left(\text{e}^{x}\right)^{3}\times \text{e}^{-2x}=\text{e}^{3x}\times \text{e}^{-2x}=\text{e}^{x} $.
Quand l'exposant final vaut $ 0 $, le résultat vaut $ 1 $ (et non $ \text{e} $).
Attention
Ne pas confondre les règles du produit et de la puissance :
$ \text{e}^{a}\times \text{e}^{b}=\text{e}^{a+b} $ (on additionne les exposants), mais $ \left(\text{e}^{a}\right)^{b}=\text{e}^{ab} $ (on multiplie les exposants).
Attention aussi aux signes dans les soustractions d'exposants : $ (2x+1)-(x-3)=2x+1-x+3=x+4 $, en pensant à changer le signe de chaque terme entre parenthèses.