Simplification d’expressions avec exponentielle

On applique les identités remarquables et la propriété $\text{e}^{-x}=\dfrac{1}{\text{e}^{x}}$.

1. En développant le carré : $ A = \text{e}^{2x} - 2\text{e}^{x} + 1 - \text{e}^{2x} = -2\text{e}^{x}+1 $, donc $A = \mathbf{-2\text{e}^{x}+1}$.
2. On reconnaît $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ avec $a=\dfrac{\text{e}^{x}+\text{e}^{-x}}{2}$ et $b=\dfrac{\text{e}^{x}-\text{e}^{-x}}{2}$, d'où $a+b=\text{e}^{x}$ et $a-b=\text{e}^{-x}$. Donc $ B = \text{e}^{x}\times \text{e}^{-x}=\text{e}^{0}=\mathbf{1} $.
3. On multiplie le second terme par $\dfrac{\text{e}^{x}}{\text{e}^{x}}$ : $\dfrac{\text{e}^{-x}-1}{\text{e}^{-x}+1}=\dfrac{1-\text{e}^{x}}{1+\text{e}^{x}}=-\dfrac{\text{e}^{x}-1}{\text{e}^{x}+1}$, donc $ C = \mathbf{0} $.