Résoudre une équation produit-nul
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Créer un compteRappel : propriété du produit nul
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul :
Méthode
Pour résoudre une équation de la forme $ (ax + b)(cx + d) = 0 $ :
- Vérifier que l'un des membres est bien égal à $ 0 $ et que l'autre est un produit de facteurs. Si ce n'est pas le cas, factoriser d'abord.
- Appliquer la propriété du produit nul : résoudre $ ax + b = 0 $ puis $ cx + d = 0 $.
- Conclure en donnant les deux solutions.
Équation déjà factorisée
Résoudre $ (3x - 6)(x + 4) = 0 $.
Étape 1 : L'équation est déjà sous la forme d'un produit égal à $ 0 $.
Étape 2 : On applique la propriété du produit nul :
- Soit $ 3x - 6 = 0 \iff 3x = 6 \iff x = 2 $
- Soit $ x + 4 = 0 \iff x = -4 $
Étape 3 : L'équation admet deux solutions : $ 2 $ et $ -4 $.
Avec factorisation par a² - b²
Résoudre $ 4x^2 - 25 = 0 $.
Étape 1 : L'équation n'est pas sous forme de produit. On reconnaît l'identité remarquable $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $ avec $ a = 2x $ et $ b = 5 $ :
$4x^2 - 25 = (2x)^2 - 5^2 = (2x - 5)(2x + 5)$
L'équation devient : $ (2x - 5)(2x + 5) = 0 $.
Étape 2 : On applique la propriété du produit nul :
- Soit $ 2x - 5 = 0 \iff x = \dfrac{5}{2} $
- Soit $ 2x + 5 = 0 \iff x = -\dfrac{5}{2} $
Étape 3 : L'équation admet deux solutions : $ \dfrac{5}{2} $ et $ -\dfrac{5}{2} $.
Avec un facteur commun
Résoudre $ x^2 - 7x = 0 $.
Étape 1 : On factorise par $ x $ :
$x^2 - 7x = x(x - 7) = 0$
Étape 2 : On applique la propriété du produit nul :
- Soit $ x = 0 $
- Soit $ x - 7 = 0 \iff x = 7 $
Étape 3 : L'équation admet deux solutions : $ 0 $ et $ 7 $.
Attention
Il ne faut jamais diviser les deux membres par $ x $ pour simplifier. En divisant par $ x $, on suppose implicitement que $ x \neq 0 $, ce qui fait perdre la solution $ x = 0 $.
Exemple : dans $ x^2 = 7x $, si on divise par $ x $ on trouve uniquement $ x = 7 $ et on oublie $ x = 0 $.
La bonne méthode : tout passer à gauche et factoriser.