Équations produit-nul et factorisation

1. Résolvons $ (2x - 5)(3x + 1) = 0 $.

   L'équation est un produit de facteurs égal à zéro. On applique la propriété du produit nul :

   • Soit $ 2x - 5 = 0 \iff 2x = 5 \iff x = \dfrac{5}{2} $
   • Soit $ 3x + 1 = 0 \iff 3x = -1 \iff x = -\dfrac{1}{3} $

   L'équation admet deux solutions : $ \dfrac{5}{2} $ et $ -\dfrac{1}{3} $.

2. Résolvons $ x^2 - 49 = 0 $.

   On reconnaît l'identité remarquable $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $ avec $ a = x $ et $ b = 7 $ :
   $x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7) = 0$

   On applique la propriété du produit nul :

   • Soit $ x - 7 = 0 \iff x = 7 $
   • Soit $ x + 7 = 0 \iff x = -7 $

   L'équation admet deux solutions : $ 7 $ et $ -7 $.

3. Résolvons $ 9x^2 - 4 = 0 $.

   On reconnaît $ (3x)^2 - 2^2 $. On factorise :
   $9x^2 - 4 = (3x - 2)(3x + 2) = 0$

   On applique la propriété du produit nul :

   • Soit $ 3x - 2 = 0 \iff x = \dfrac{2}{3} $
   • Soit $ 3x + 2 = 0 \iff x = -\dfrac{2}{3} $

   L'équation admet deux solutions : $ \dfrac{2}{3} $ et $ -\dfrac{2}{3} $.

4. Résolvons $ x^2 + 6x = 0 $.

   On factorise par $ x $ :
   $x(x + 6) = 0$

   On applique la propriété du produit nul :

   • Soit $ x = 0 $
   • Soit $ x + 6 = 0 \iff x = -6 $

   L'équation admet deux solutions : $ 0 $ et $ -6 $.

5. Résolvons $ (x + 3)(2x - 7) + (x + 3)(x - 1) = 0 $.

   On repère le facteur commun $ (x + 3) $ et on le met en facteur :
   $(x + 3)\big[(2x - 7) + (x - 1)\big] = 0$
   $(x + 3)(3x - 8) = 0$

   On applique la propriété du produit nul :

   • Soit $ x + 3 = 0 \iff x = -3 $
   • Soit $ 3x - 8 = 0 \iff x = \dfrac{8}{3} $

   L'équation admet deux solutions : $ -3 $ et $ \dfrac{8}{3} $.

Pour réviser : Résoudre une équation produit-nul