Montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme avec les vecteurs
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Méthode
Pour montrer qu'un quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme, il suffit de montrer que :
- Étape 1 : Exprimer les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ en fonction des données de l'exercice (en utilisant la relation de Chasles, les propriétés du milieu, etc.).
- Étape 2 : Montrer que ces deux vecteurs sont égaux.
- Étape 3 : Conclure que $ABCD$ est un parallélogramme.
Attention
L'ordre des lettres dans l'égalité vectorielle est important ! Si $ABCD$ est un parallélogramme, alors $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ (et non $\overrightarrow{CD}$). Les côtés $[AB]$ et $[DC]$ sont les côtés opposés parcourus dans le même sens.
On peut aussi utiliser l'autre paire de côtés opposés : $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$.
Symétrique par rapport au milieu d'un côté
Soit $ABC$ un triangle et $M$ le milieu de $[BC]$. Soit $D$ le symétrique de $A$ par rapport à $M$.
Montrer que $ABDC$ est un parallélogramme.
Solution :
On veut montrer que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$.
$D$ est le symétrique de $A$ par rapport à $M$, donc $M$ est le milieu de $[AD]$ :
$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MD}$
$M$ est le milieu de $[BC]$ :
$\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{MC}$
On exprime $\overrightarrow{CD}$ à l'aide de la relation de Chasles en introduisant le point $M$ :
$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CM} + \overrightarrow{MD}$
Or $\overrightarrow{CM} = -\overrightarrow{MC} = -\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{MB}$ et $\overrightarrow{MD} = \overrightarrow{AM}$.
Donc :
$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{AB}$
On a bien $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$, donc $ABDC$ est un parallélogramme.
Diagonales qui se coupent en leur milieu
Soit $ABCD$ un quadrilatère dont les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se coupent en un point $I$ qui est le milieu de chacune d'elles.
Montrer que $ABCD$ est un parallélogramme.
On connaissait ce résultat depuis le collège, mais on peut le redémontrer très simplement avec les vecteurs.
Solution :
On veut montrer que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.
On exprime chaque vecteur en introduisant le point $I$ (relation de Chasles) :
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}$
$\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DI} + \overrightarrow{IC}$
$I$ est le milieu de $[AC]$, donc $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IC}$.
$I$ est le milieu de $[BD]$, donc $\overrightarrow{BI} = \overrightarrow{ID}$, c'est-à-dire $\overrightarrow{DI} = -\overrightarrow{ID} = -\overrightarrow{BI} = \overrightarrow{IB}$.
En remplaçant :
$\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DI} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{AB}$
On a bien $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, donc $ABCD$ est un parallélogramme.
Remarque
La méthode vectorielle est souvent plus efficace que les méthodes du collège (double parallélisme, parallélisme et égalité de longueurs) car elle ne nécessite qu'une seule égalité à démontrer.