Construire un parallélogramme avec les vecteurs
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$ABC$ est un triangle. On construit le point $K$ tel que $\overrightarrow{CK} = \overrightarrow{BA}$ et le point $L$ tel que les vecteurs $\overrightarrow{BL}$ et $\overrightarrow{BC}$ soient opposés.
On cherche à déterminer la nature du quadrilatère $ABKC$, puis à démontrer que $LBKA$ est un parallélogramme.
Déroulement pas à pas (Correction et Indices)
Étape 1 : Quelle est la nature du quadrilatère $ABKC$ ?
- (Incorrect) Rectangle
- (Correct) Parallélogramme
- (Incorrect) Losange
Étape 2 : Exprimer $\overrightarrow{BL}$ en fonction de $\overrightarrow{BC}$, sachant que $\overrightarrow{BL}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont opposés.
$\overrightarrow{BL} =$ [[bl]]
$\overrightarrow{BL} =$ [[bl]]
Étape 3 : On souhaite maintenant démontrer que $LBKA$ est un parallélogramme. Pour commencer, exprimer $\overrightarrow{LB}$ en fonction de $\overrightarrow{BC}$.
$\overrightarrow{LB} =$ [[lb]]
$\overrightarrow{LB} =$ [[lb]]
Étape 4 : Exprimer $\overrightarrow{AK}$ à l'aide des vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BA}$.
$\overrightarrow{AK} =$ [[ak]]
$\overrightarrow{AK} =$ [[ak]]
Étape 5 : Réduire $\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA}$ à un seul vecteur, puis conclure sur la nature de $LBKA$.
- (Incorrect) $\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB}$ donc $LBKA$ est un parallélogramme
- (Correct) $\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{BC}$ donc $\overrightarrow{LB} = \overrightarrow{AK}$ et $LBKA$ est un parallélogramme
- (Incorrect) $\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{CA}$ donc on ne peut pas conclure