Les vecteurs en Seconde
Exercices
Constructions par translation
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Soit $ ABC $ un triangle.
- Construire le point $ D $ tel que $ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} $.
- Montrer que $ ABCD $ est un parallélogramme.
- Soit $ O $ le milieu du segment $ [AC] $. Que représente le point $ O $ pour le segment $ [BD] $ ? Justifier.
- Exprimer le vecteur $ \overrightarrow{DB} $ en fonction de $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{BC} $.
Corrigé
On cherche le point $ D $ tel que $ \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} $. Cela signifie que $ C $ est l'image de $ D $ par la translation de vecteur $ \overrightarrow{AB} $.
Pour construire $ D $, on part de $ C $ et on reporte le vecteur $ \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA} $ (vecteur opposé de $ \overrightarrow{AB} $) : l'extrémité obtenue est le point $ D $.
- Par définition, on a $ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} $.
Or, un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si deux côtés opposés sont définis par des vecteurs égaux.
Par conséquent, $ ABCD $ est un parallélogramme. - Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu.
Puisque $ ABCD $ est un parallélogramme, les diagonales $ [AC] $ et $ [BD] $ se coupent en leur milieu.
Or $ O $ est le milieu de $ [AC] $, donc $ O $ est aussi le milieu de $ [BD] $. On utilise la relation de Chasles :
$ \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB} $
Or $ \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{BC} $, donc :$ \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} $